Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 510871

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби ?

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  дробь: числитель: 1, знаменатель: 35 конец дроби ?

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через A, а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе через B.

а) Заметим, что A= дробь: числитель: m, знаменатель: 7 конец дроби , B= дробь: числитель: n, знаменатель: 5 конец дроби , где m и n — некоторые натуральные числа. Значит,

A минус B= дробь: числитель: m, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: n, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 5m минус 7n, знаменатель: 35 конец дроби .

Если A минус B= дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби , то 5m минус 7n= дробь: числитель: 35, знаменатель: 25 конец дроби , что невозможно. Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам не может равняться  дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби .

б) Например, для оценок экспертов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равна

 дробь: числитель: 0 плюс 1 плюс 2 плюс 4 плюс 7 плюс 8 плюс 9, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 1 плюс 2 плюс 4 плюс 7 плюс 8, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 31, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 22, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 35 конец дроби .

в) Пусть x — наименьшая из оценок, z — наибольшая, а y — сумма остальных пяти оценок. Тогда

A минус B= дробь: числитель: x плюс y плюс z, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: y, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 5x минус 2y плюс 5z, знаменатель: 35 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5x плюс 5z минус 2 левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс ... плюс левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 35 конец дроби =

 

= дробь: числитель: 5z минус 5x минус 30, знаменатель: 35 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5 умножить на 12 минус 5 умножить на 0 минус 30, знаменатель: 35 конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби .

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 12 разность A минус B равна  дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби . Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равно  дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Ответ: а) нет; б) да; в)  дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 302., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014
Классификатор алгебры: Числа и их свойства