В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
а) Обозначим K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.
Рассмотрим треугольник ABC, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BM : MC = AB : AC, учитывая, что длина BC равна 5, получаем: BM = 2; MC = 3.
В треугольнике MNC стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Таким образом, получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.
б) Рассмотрим треугольник PMN: отрезок PO перпендикулярен прямой MN и делит её пополам, следовательно, треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.
В треугольнике AMC отрезок CP — биссектриса, поэтому AP : PM = AC : MC = 3 : 1.
Ответ: 3 : 1.
Приведем другое решение.
а) Обозначим за K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.
Далее, в 
видим, что KM является высотой и медианой, откуда следует, что треугольник BMN равнобедренный. Обозначим BM = MN = x, тогда MC = BC − BM = 5 − x.
Из 
по теореме косинусов получаем:
Из треугольника 
по теореме косинусов: 
откуда:
Таким образом, получили, что MN = 2, MC = 3 — значит, треугольник MCN равнобедренный, откуда следует, что биссектриса CO является и высотой, и медианой. Значит, точка O — середина стороны MN. Что и требовалось доказать.
б) Опустим вспомогательный перпендикуляр из точки P на сторону AN (пересечение в точке H). Отрезок PH является радиусом вписанной окружности, так как P — точка пересечения биссектрис (а значит — центр вписанной окружности). Найдем радиус из формулы 
где S — площадь треугольника ABC, p — полупериметр треугольника, равный 
Найдем площадь по формуле Герона:
Тогда 
Из треугольника ABC вновь по теореме косинусов найдем косинус угла A (обозначим его за 
):
Так как 
то
откуда
Тогда из 
получаем:
Найдем, что HN = AN − AH = 1, тогда из 
по теореме Пифагора:
Окончательно получаем, что 
Ответ: 3 : 1.
----------
Дублирует задание 505501.
Это не ошибка, скорее более рациональное решение. Т.к. ВМ - биссектриса, то ВМ:МС=АВ:АС=6:9=2:3, а т.к. ВС=5, то ВМ=2 и МС=3, т.е. треугольник MNC - равнобедренный, в котором СО - биссектриса, а значит, и медиана, т.е. делит MN пополам. Аналогично треугольник PMN тоже равнобедренный, PM=PN. Т.к. СР - биссектриса, то АР:РМ= АС:СМ=3:1.