ЕГЭ−2021, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 18 № 511314

При каких $p$ данная система имеет решения: $система выражений новая строка x в степени 2 минус 4px плюс 3=0, новая строка синус в степени 2 Пи p плюс {{ синус } в степени 2 } Пи x плюс 2 в степени |y| =\left| синус дробь, числитель — Пи x, знаменатель — 2 |? конец системы .$

Решение.

Поскольку $синус в степени 2 Пи p больше или равно 0$ и $синус в степени 2 Пи x больше или равно 0,|y| больше или равно 0$ и, значит, $2 в степени |y| больше или равно 1,$ левая часть второго уравнения системы не меньше, чем $1.$ Так как его правая часть не больше $1,$ оно равносильно системе

$система выражений новая строка синус в степени 2 Пи p=0, новая строка синус в степени 2 Пи x=0, новая строка 2 в степени |y| =1, новая строка \left| синус дробь, числитель — Пи x, знаменатель — 2 |=1, конец системы .$

из которой находим, что $p принадлежит Z ,x=2k плюс 1, k принадлежит Z ,y=0.$

Первое уравнение имеет целые коэффициенты и целый корень $x_1=2k плюс 1.$ Так как $x_1 плюс x_2=4p,x_2$ — тоже целое число и из равенства $x_1x_2=3$ получаем, что это нечетное число, делящее число $3.$ Такими числами являются $1, 3, минус 3$ и $минус 1.$