Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 511433

Окружность S радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 18 и 32. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.

Спрятать решение

Решение.

Пусть ABCD — трапеция с боковыми сторонами AB и CD, а окружность S с центром O, вписанная в трапецию, касается оснований BC=18 и AD=32 в точках K и M соответственно.

Точки K и M — середины оснований, поэтому CK=9 и DM=16. Из прямоугольных треугольников ODM и OCK находим, что

OD= корень из (OM в квадрате плюс DM в квадрате ) = корень из (12 в квадрате плюс 16 в квадрате ) =20.

 

OC= корень из (OK в квадрате плюс CK в квадрате ) = корень из (12 в квадрате плюс 9 в квадрате ) =15.

Рассмотрим случай, когда окружность радиуса r с центром O_1 вписана в угол ADC, касается окружности S в точке T, а стороны AD — в точке P. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому:

OO_1=OT плюс TO_1=12 плюс r,

а так как точки D,O_1 и O лежат на одной прямой (биссектрисе угла CDA), то

DO_1=OD минус OO_1=20 минус (12 плюс r)=8 минус r.

Треугольники O1PD и OMD подобны, поэтому  дробь: числитель: O_1P, знаменатель: OM конец дроби = дробь: числитель: O_1D, знаменатель: OD конец дроби , или  дробь: числитель: r, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 8 минус r, знаменатель: 20 конец дроби , откуда находим, что r=3.

Если же окружность радиуса r_1 с центром O_2 вписана в угол BCD и касается окружности S, то аналогично получим уравнение  дробь: числитель: r_1, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 3 минус r_1, знаменатель: 15 конец дроби , из которого найдём, что r_1= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ: 3 или  дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 507492: 511433 Все