Окружность S радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 18 и 32. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.
Пусть ABCD — трапеция с боковыми сторонами AB и CD, а окружность S с центром O, вписанная в трапецию, касается оснований
и 
в точках K и M соответственно.
Точки K и M — середины оснований, поэтому 
и 
Из прямоугольных треугольников ODM и OCK находим, что
Рассмотрим случай, когда окружность радиуса r с центром 
вписана в угол ADC, касается окружности S в точке T, а стороны AD — в точке 
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому:
а так как точки 
и O лежат на одной прямой (биссектрисе угла CDA), то
Треугольники O1PD и OMD подобны, поэтому 
или 
откуда находим, что 
Если же окружность радиуса 
с центром 
вписана в угол BCD и касается окружности S, то аналогично получим уравнение 
из которого найдём, что 
Ответ: 3 или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |