Окружность S радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 18 и 32. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.
Решение.
Пусть ABCD — трапеция с боковыми сторонами AB и CD, а окружность S с центром O, вписанная в трапецию, касается оснований
и
в точках K и M соответственно.
Точки K и M — середины оснований, поэтому
и
Из прямоугольных треугольников ODM и OCK находим, что


Рассмотрим случай, когда окружность радиуса r с центром
вписана в угол ADC, касается окружности S в точке T, а стороны AD — в точке
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому:

а так как точки
и O лежат на одной прямой (биссектрисе угла CDA), то

Треугольники O1PD и OMD подобны, поэтому
или
откуда находим, что 
Если же окружность радиуса
с центром
вписана в угол BCD и касается окружности S, то аналогично получим уравнение
из которого найдём, что 
Ответ: 3 или 
Ответ: 3 или
