Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 512885

Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 1 и 3. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2 = 14.

Спрятать решение

Решение.

Пусть O — центр третьей окружности, A — точка касания первой и третьей окружностей, B — второй и третьей, C — третьей окружности и прямой O1O2. Точки O1, A и O лежат на одной прямой. Точки O2, B и O также лежат на одной прямой.

Пусть радиус третьей окружности равен x, тогда OO_1=1 плюс x,OO_2=3 плюс x.

В прямоугольном треугольнике OCO1 имеем O_1C= корень из OO_1 в квадрате минус OC в квадрате = корень из 1 плюс 2x.

В прямоугольном треугольнике OCO2 имеем O_2C= корень из OO_2 в квадрате минус OC в квадрате = корень из 9 плюс 6x.

 

Возможны два случая. первый случай: точка С лежит между точками O1 и O2 (рисунок 1), тогда

O_1O_2=O_1C плюс O_2C;

 корень из 1 плюс 2x плюс корень из 9 плюс 6x=14;

 корень из левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 6x правая круглая скобка =93 минус 4x,

откуда x = 12.

Второй случай: точка O1 лежит между точками C и O2 (рисунок 2), тогда

O_1O_2=O_2C минус O_1C;

 корень из 9 плюс 6x минус корень из 1 плюс 2x=14;

 корень из левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 6x правая круглая скобка =4x минус 93,

откуда x = 180.

 

Ответ: 12 или 180.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные графические конфигурации и получен правильный ответ.3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 512885: 512891 Все

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна. Вариант 801.
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей