Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 513269

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно  дробь: числитель: 13, знаменатель: 7 конец дроби ?

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно  дробь: числитель: 8, знаменатель: 7 конец дроби ?

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что треугольник тупоугольный тогда и только тогда, когда сумма квадратов длин его меньших сторон меньше квадрата большей стороны.

а) Да, например, в треугольнике со сторонами 13, 7, 8 выполнено 13 меньше 7 плюс 8 и 13 в квадрате больше 7 в квадрате плюс 8 в квадрате .

б) Нет. Пусть большая сторона равна 8x, а меньшая 7x. Тогда средняя не меньше 7x, но  левая круглая скобка 7x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 7x правая круглая скобка в квадрате больше левая круглая скобка 8x правая круглая скобка в квадрате .

в) Пусть меньшая сторона равна a, а большая равна c. Тогда c в квадрате больше 625 плюс a в квадрате , c меньше 25 плюс a и нужно минимизировать  дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби . Рассмотрим любую подходящую пару чисел  левая круглая скобка a,c правая круглая скобка и увеличим оба числа на единицу. Тогда по-прежнему  левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше 625 плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате (к правой части прибавили 2c плюс 1, а к левой 2a плюс 1), c плюс 1 меньше 25 плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка (к обеим частям прибавили поровну), а отношение уменьшилось (было 1 плюс дробь: числитель: c минус a, знаменатель: a конец дроби , стало 1 плюс дробь: числитель: c минус a, знаменатель: a плюс 1 конец дроби ). Поэтому можно увеличивать a, пока оно не станет равно 24.

Теперь будем просто уменьшать c пока это возможно, то есть пока c в квадрате больше 625 плюс 576=1201. Наименьшее такое c это 35. Поэтому ответ  дробь: числитель: 35, знаменатель: 24 конец дроби .

 

Ответ: а) да; б) нет; в)  дробь: числитель: 35, знаменатель: 24 конец дроби .

 

Комментарий Сергея Николаева.

Укажем, как получить оценку из п. в) геометрически. Пусть меньшая сторона равна a, большая равна c, а С — угол, противолежащий стороне длины с. Из теоремы косинусов следует, что  левая круглая скобка дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 625, знаменатель: a в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 50| косинус C, знаменатель: | конец дроби a плюс 1. Из полученного соотношения видно, что для любого угла C (при фиксированной величине c) отношение c/a минимально при максимальном возможном a, то есть при a = 24. Далее, так же, как в приведенном выше решении, получаем, что при любом фиксированном значении угла C искомое отношение минимально при c = 35, а значит, не зависит от угла C.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 513269: 515711 514712 622676 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Классификатор алгебры: Числа и их свойства