Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 622676

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а)  Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 2?

б)  Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 4 : 3?

в)  Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 20?

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, например треугольник со сторонами 10, 11, 20 будет тупоугольным, поскольку 20 в квадрате больше 10 в квадрате плюс 11 в квадрате .

б)  Пусть большая сторона имеет длину 4x, а меньшая 3x. Тогда длина средней не меньше 3x и сумма квадратов двух сторон не меньше  левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате =18x в квадрате больше левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате , поэтому треугольник остроугольный.

в)  Допустим это числа a, 20, c, причем a < 20 и c в квадрате больше 20 в квадрате плюс a в квадрате . Если увеличить стороны a и c на 1, то получим

 левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =c в квадрате плюс 2c плюс 1 больше 20 в квадрате плюс a в квадрате плюс 2a плюс 1=20 в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате ,

то есть треугольник останется тупоугольным c плюс 1 меньше левая круглая скобка 20 плюс a правая круглая скобка плюс 1=20 плюс a плюс 1, то есть неравенство треугольника по-прежнему будет выполняться, а треугольник будет существовать, причем

 дробь: числитель: c плюс 1, знаменатель: a плюс 1 конец дроби =1 плюс дробь: числитель: c минус a, знаменатель: a плюс 1 конец дроби меньше 1 плюс дробь: числитель: c минус a, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби ,

то есть указанное отношение уменьшится. Значит, выгодно увеличивать a пока это возможно, поэтому можно считать, что a = 19. При фиксированном a нужно просто выбирать минимально возможное c. Поскольку 20 в квадрате плюс 19 в квадрате =761 принадлежит левая круглая скобка 729,784 правая круглая скобка , минимально возможное c это 28.

 

Ответ: а) да; б) нет; в)  дробь: числитель: 28, знаменатель: 19 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте в)

2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 513269: 515711 514712 622676 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 369.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства