Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 513610

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений дробь, числитель — xy в степени 2 минус 2xy минус 4y плюс 8, знаменатель — корень из { x плюс 4 }=0,y=ax конец системы .

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Графическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

 дробь, числитель — (y минус 2)(xy минус 4), знаменатель — корень из { x плюс 4 }=0.

При x меньше или равно минус 4 левая часть не имеет смысла. При x больше минус 4 уравнение задаёт прямую y=2 и гиперболу y= дробь, числитель — 4, знаменатель — x (см. рис.). При каждом значении a уравнение y=ax задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой y=2 и гиперболы y= дробь, числитель — 4, знаменатель — x с прямой y=ax при условии x больше минус 4.

Прямая y=ax пересекает прямую y=2 при a меньше минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 и при a больше 0; пересекает правую ветвь гиперболы при a больше 0, пересекает левую ветвь гиперболы при a больше дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 , проходит через точку пересечения прямой y=2 и гиперболы при a=1.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 0 меньше a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 и при  a=1.

 

Аналитическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

 дробь, числитель — (y минус 2)(xy минус 4), знаменатель — корень из { x плюс 4 }=0.

Тогда исходная система равносильна следующей:

 

 система выражений совокупность выражений y минус 2=0, xy минус 4=0, конец системы . x плюс 4 больше 0, y=ax конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений ax=2, ax в степени 2 =4, конец системы . x больше минус 4, y=ax. конец совокупности .

При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень x_1= дробь, числитель — 2, знаменатель — a , который удовлетворяет системе при a принадлежит левая круглая скобка минус принадлежит fty, минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка \cup(0, плюс принадлежит fty). Второе уравнение имеет два различных корня x_2= дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { a },x_3= минус дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { a } только при a > 0, причем, x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при a больше дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 . Таким образом система будет иметь два различных решения при 0 меньше a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 . Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть  дробь, числитель — 2, знаменатель — a = дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { a }, это происходит при a = 1.

 

Ответ: 0 меньше a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 ,a=1.

 

Примечание.

Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений дробь, числитель — (y в степени 2 минус xy минус 4y плюс 2x плюс 4) корень из { x плюс 4}, знаменатель — корень из { 5 минус y }=0,a=x плюс y. конец системы .

имеет единственное решение.


Аналоги к заданию № 513610: 513629 514510 514517 Все

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 101
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых»