Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Графическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде
При левая часть не имеет смысла. При
уравнение задаёт прямую
и гиперболу
(см. рис.). При каждом значении a уравнение
задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы
с прямой
при условии
Прямая пересекает прямую
при
и при
пересекает правую ветвь гиперболы при
пересекает левую ветвь гиперболы при
проходит через точку пересечения прямой
и гиперболы при
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при и при
Аналитическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде
Тогда исходная система равносильна следующей:
При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень который удовлетворяет системе при
Второе уравнение имеет два различных корня
только при a > 0, причем, x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при
Таким образом система будет иметь два различных решения при
Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть
это происходит при a = 1.
Ответ:
Примечание.
Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.