Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 513629

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений дробь, числитель — xy в степени 2 минус 3xy минус 3y плюс 9, знаменатель — корень из { x плюс 3 }=0,y=ax конец системы .

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Графическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

 дробь, числитель — (y минус 3)(xy минус 3), знаменатель — корень из { x плюс 3 }=0.

При x меньше или равно минус 3 левая часть не имеет смысла. При x больше минус 3 уравнение задаёт прямую y=3 и гиперболу y= дробь, числитель — 3, знаменатель — x (см. рис.). При каждом значении a уравнение y=ax задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

При x больше минус 3 такая прямая пересекает прямую y=3 при a меньше минус 1 и a больше 0, пересекает правую ветвь гиперболы y= дробь, числитель — 3, знаменатель — x при a больше 0, пересекает левую ветвь гиперболы y= дробь, числитель — 3, знаменатель — x при a больше дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 . При этом прямая y=ax проходит через точку пересечения прямой y=3 и гиперболы y= дробь, числитель — 3, знаменатель — x при a=3.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой y=3 и гиперболы y= дробь, числитель — 3, знаменатель — x с прямой y=ax при условии x больше минус 3.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 0 меньше a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 и при  a=3.

 

Аналитическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

 дробь, числитель — (y минус 3)(xy минус 3), знаменатель — корень из { x плюс 3 }=0.

Тогда исходная система равносильна следующей:

 

 система выражений совокупность выражений y минус 3=0, xy минус 3=0, конец системы . x плюс 3 больше 0, y=ax конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений ax=3, ax в степени 2 =3, конец системы . x больше минус 3, y=ax. конец совокупности .

При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень x_1= дробь, числитель — 3, знаменатель — a , который удовлетворяет системе при a принадлежит ( минус принадлежит fty, минус 1)\cup(0, плюс принадлежит fty). Второе уравнение имеет два различных корня x_2= корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — a },x_3= минус корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — a } только при a > 0, причем, x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при a больше дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 . Таким образом система будет иметь два различных решения при 0 меньше a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 . Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть  дробь, числитель — 3, знаменатель — a = корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — a }, это происходит при a = 3.

 

Ответ: 0 меньше a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 ,a=3.

 

Примечание.

Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений дробь, числитель — (y в степени 2 минус xy минус 4y плюс 2x плюс 4) корень из { x плюс 4}, знаменатель — корень из { 5 минус y }=0,a=x плюс y. конец системы .

имеет единственное решение.


Аналоги к заданию № 513610: 513629 514510 514517 Все

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 2 (только часть С)
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых»
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Алексей Кожакин 06.04.2016 14:49

a=1/3 не может быть, так как x не равно -3.

Александр Иванов

именно потому, что x не равно минус 3 значение a= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 и входит в ответ