Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Запишем первое уравнение системы в виде
При 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат. Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы 
с прямой при условии 
Прямая пересекает прямую при 
и при 
пересекает правую ветвь гиперболы при 
пересекает левую ветвь гиперболы при 
проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при 
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
и при 
Ответ: 
Приведем аналитическое решение.
Запишем первое уравнение системы в виде
Тогда
При a = 0 система решений не имеет. В противном случае первое уравнение имеет корень 
который удовлетворяет системе при 
Второе уравнение имеет два различных корня 
только при a > 0, причем x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 
Таким образом, система будет иметь два различных решения при 
Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 
это происходит при a = 1.
Ответ:
Примечание.
Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гиперболы и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно получены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл: | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Графическое решение.
Запишем первое уравнение системы в виде
При 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.
При такая прямая пересекает прямую при 
и пересекает правую ветвь гиперболы 
при пересекает левую ветвь гиперболы при 
При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при 
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии 
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
и при 
Аналитическое решение.
Запишем первое уравнение системы в виде
Тогда исходная система равносильна следующей:
При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень 
который удовлетворяет системе при 
Второе уравнение имеет два различных корня 
только при a > 0, причем, x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 
Таким образом, система будет иметь два различных решения при 
Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 
это происходит при a = 3.
Ответ: 
Примечание.
Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гиперболы и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно получены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл: | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Запишем первое уравнение в виде
При 
левая часть не имеет смысла. При уравнение задаёт прямую и гиперболу 
(см. рис.).
При каждом значении a уравнение 
задаёт прямую, параллельную прямой 
или совпадающую с ней.
При такая прямая пересекает прямую при 
пересекает правую ветвь гиперболы при любом значении a, пересекает левую ветвь гиперболы 
при 
При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при 
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| C помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомоготолько включением/исключением точек a = 1 и/или a = 5 | 3 |
C помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гиперболы и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Запишем первое уравнение в виде
При 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу (см. рис.).
При каждом значении a уравнение задаёт прямую, параллельную прямой или совпадающую с ней.
При такая прямая пересекает прямую при 
пересекает правую ветвь гиперболы при любом значении a, пересекает левую ветвь гиперболы 
при 
При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при 
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии 
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| C помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомоготолько включением/исключением точек a = 0 и/или a = 3 | 3 |
C помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гиперболы и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх