≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514028

Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = CD.

а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.

б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?

Решение.

a) Пусть O — центр окружности. Прямая OC перпендикулярна касательной BC, а так как хорда AD параллельна BC, прямая OC перпендикулярна прямой AD. Диаметр CC1 перпендикулярен хорде AD, а значит, делит её пополам. Высота треугольника ACD является его медианой, значит, треугольник равнобедренный, AC = CD, а так как AD = CD, треугольник равносторонний. Тогда

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

Следовательно, CP — биссектриса угла ACB.

б) Пусть Тогда , , значит,

По свойству биссектрисы треугольника , значит, Поэтому

Следовательно,

 

Ответ: 4 : 5.


Аналоги к заданию № 514028: 514047 Все