СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514098

К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причём отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE — другой.

а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.

б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами равно 18, а AC = 8.

Решение.

а) Пусть O1 — центр окружности, которая касается отрезка CD, O2 — центр окружности, которая касается отрезка CE, R — радиус окружностей. Окружность с центром O1 касается отрезка CD в точке K, а прямой DE в точке M; окружность с центром O2 касается отрезка CE в точке L, а прямой DE в точке N (рис. 1).

Получаем, что AO1O2B и MO1O2N — прямоугольники, следовательно, AB = O1O2 и MN = O1O2.

По свойству касательных CA = CK, DM = DK, CB = CL, EL = EN.

Тогда периметр треугольника CDE

 

б) Точка O1 лежит на биссектрисах углов MDC и ACD (рис. 2), следовательно,

В прямоугольном треугольнике CO1D имеем:

Аналогично, Получаем, что

 

Ответ: 12,375.

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2014
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружности и системы окружностей