Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 514451

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

 корень из x в степени (4) минус x в степени (2) плюс a в степени (2) =x в степени (2) плюс x минус a

имеет ровно три различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

 корень из x в степени 4 минус x в степени 2 плюс a в степени 2 =x в степени 2 плюс x минус a равносильно система выражений x в степени 2 плюс x минус a \geqslant0,x в степени 4 минус x в степени 2 плюс a в степени 2 =x в степени 4 плюс x в степени 2 плюс a в степени 2 плюс 2x в степени 3 минус 2ax в степени 2 минус 2ax конец системы . равносильно

 

 равносильно система выражений a\leqslant x в степени 2 плюс x,x в степени 3 плюс (1 минус a)x в степени 2 минус ax=0 конец системы . равносильно система выражений a\leqslant x в степени 2 плюс x, совокупность выражений x=0,x в степени 2 плюс (1 минус a)x минус a=0 конец системы . конец совокупности . равносильно

 

 равносильно совокупность выражений система выражений x=0,a\leqslant0, конец системы . система выражений a\leqslant x в степени 2 плюс x,(*)x в степени 2 плюс (1 минус a)x минус a=0.(**) конец системы конец совокупности .

Уравнение имеет три решения тогда и только тогда, когда x=0, a\leqslant0 и уравнение (**) имеет два различных отличных от нуля решения, удовлетворяющих условию (*).

Заметим, что сумма корней уравнения (**) равна a минус 1, и произведение равно  минус a, значит, его корни a и  минус 1, причём a не равно минус 1. Найденные корни удовлетворяют условию (*), если:

1) a\leqslant a в степени 2 плюс a равносильно a в степени 2 \geqslant 0, a — любое число.

2) a\leqslant( минус 1) в степени 2 плюс ( минус 1) равносильно a\leqslant0,

3) a не равно 0.

Итак, a меньше 0, a не равно минус 1.

 

Ответ: a меньше 0, a не равно минус 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки.3
Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены.2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 514451: 514531 514538 Все

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад, ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016 Вариант 412. Запад (C часть)
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Иван Галигузов 08.03.2017 17:47

А теперь подставьте a=2 - получите ровно три корня x.

x1= -1

x2= 0

x3= 2 , т.е."a" может принимать значения > 0

Александр Иванов

при а=2 нет корней х=0 и х=-1

Елизавета 29.03.2017 20:00

Почему параметр a не равен 0?

Александр Иванов

При a=0, один из корней уравнения (**) равен нулю, что не подходит

Марина 08.04.2018 23:45

А почему не рассматривается случай когда х2+х-а меньше нуля и подкоренное выражение больше или равно нулю?

Александр Иванов

тогда в левой части неотрицательное число, а в правой отрицательное... и они не могут быть равны