СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 514541

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = 2; B1L = 4. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.

Решение.

а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные AC. Пусть эти прямые пересекают рёбра BC и A1B1 в точках K1 и L1 соответственно (рис. 1). Тогда трапеция KL1LK1 является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость BB1M. Пусть эта плоскость пересекает прямые AC, KK1 и LL1 в точках N, E и F соответственно. Четырёхугольник BB1MN — прямоугольник, причём

Кроме того, откуда Пусть FP — высота трапеции EFB1B (рис. 2), тогда

Поскольку

то есть прямые EF и BM перпендикулярны.

Прямая KK1 параллельна прямой AC? которая перпендикулярна плоскости BB1M. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой BM, поэтому прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Поскольку прямая AC параллельна плоскости γ, расстояние от точки C до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Тогда

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 514447: 514541 Все

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016 Вариант 412. Запад (C часть)