Решение.

ОДЗ данного уравнения:

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

имеет на отрезке хотя бы одно решение, не равное

Преобразуем уравнение:

Функция в правой части уравнения на отрезке монотонно возрастает от 0 до 2. Функция в левой части монотонно убывает от 9k до 6k при . Таким образом, уравнение на отрезке будет иметь единственный корень в случае если и то есть при При функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.

Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку В этом случае получим:

откуда получаем ответ.

 

Приведём другое решение.

Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка кроме точки, в которой то есть кроме точки На этой области имеем:

Найдём множество значений левой части. Пусть тогда

Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка кроме значения Тем самым,

Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка кроме

 

Приведем третье решение.

ОДЗ данного уравнения:

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

имеет на отрезке хотя бы одно решение, не равное

Преобразуем уравнение:

Обозначим тогда последнее уравнение примет вид В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку

Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную зелёным цветом, и не проходить через точку

Угловой коэффициент горизонтальной прямой

У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент

У прямой, проходящей через точку угловой коэффициент

Таким образом, условие задачи выполняется при

Вернувшись к параметру получаем:

или

 

Комментарий.

Изложим идею решения иными словами.

Обозначим в исходном уравнении Далее заметим, что при условии можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде Отметим далее, что в силу введённых обозначений Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой

 

Ответ: или