Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 515710

Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

 дробь: числитель: 6k минус (2 минус 3k) косинус t, знаменатель: синус t минус косинус t конец дроби =2

имеет хотя бы одно решение на отрезке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .
Спрятать решение

Решение.

ОДЗ данного уравнения:  синус t не равно косинус t равносильно t не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z .

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

6k минус (2 минус 3k) косинус t=2( синус t минус косинус t)

имеет на отрезке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка хотя бы одно решение, не равное  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Преобразуем уравнение:

6k минус (2 минус 3k) косинус t=2( синус t минус косинус t) равносильно 6k минус 2 косинус t плюс 3k косинус t=2 синус t минус 2 косинус t равносильно ( косинус t плюс 2)3k=2 синус t.

Функция в правой части уравнения на отрезке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка монотонно возрастает от 0 до 2. Функция в левой части монотонно убывает от 9k до 6k при k больше или равно 0. Таким образом, уравнение на отрезке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка будет иметь единственный корень в случае если 9k больше или равно 0 и 6k меньше или равно 2, то есть при k принадлежит левая квадратная скобка 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка . При k меньше 0 функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.

Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . В этом случае получим:

 левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 правая круглая скобка 3k=2 синус дробь: числитель: Пи }4 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 правая круглая скобка 3k= корень из (2) равносильно k= дробь: числитель: 2 корень из (2) , знаменатель: 3( корень из (2) плюс 4) конец дроби = дробь: числитель: 2(2 корень из { 2, знаменатель: минус конец дроби 1), знаменатель: 21 конец дроби ,

откуда получаем ответ.

 

Приведём другое решение.

Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , кроме точки, в которой  синус t = косинус t, то есть кроме точки  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . На этой области имеем:

6k минус (2 минус 3k) косинус t=2( синус t минус косинус t) равносильно 6k минус 2 косинус t плюс 3k косинус t=2 синус t минус 2 косинус t равносильно k = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби дробь: числитель: синус t, знаменатель: косинус t плюс 2 конец дроби .

Найдём множество значений левой части. Пусть f(t) = дробь: числитель: синус t, знаменатель: косинус t плюс 2 конец дроби , тогда

f'(t) = дробь: числитель: косинус t( косинус t плюс 2) минус синус t( минус синус t), знаменатель: ( косинус t плюс 2) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 2 косинус t плюс 1, знаменатель: ( косинус t плюс 2) в квадрате конец дроби .

Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка  левая квадратная скобка f(0); f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка , кроме значения f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи }4 правая круглая скобка = дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби , знаменатель: 2 корень из 2 плюс 1 конец дроби . Тем самым, E(f) = левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \setminus \left\ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 2 плюс 1 конец дроби \ .

Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка , кроме  дробь: числитель: 2, знаменатель: 6 корень из (2) плюс 3 конец дроби .

 

Приведем третье решение.

ОДЗ данного уравнения:  синус t не равно косинус t равносильно t не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z .

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

6k минус (2 минус 3k) косинус t=2( синус t минус косинус t)

имеет на отрезке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка хотя бы одно решение, не равное  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Преобразуем уравнение:

6k минус (2 минус 3k) косинус t=2( синус t минус косинус t) равносильно 6k минус 2 косинус t плюс 3k косинус t=2 синус t минус 2 косинус t равносильно синус t = дробь: числитель: 3k, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус t плюс 2 правая круглая скобка .

Обозначим  дробь: числитель: 3k, знаменатель: 2 конец дроби =a, тогда последнее уравнение примет вид  синус t =a левая круглая скобка косинус t плюс 2 правая круглая скобка . В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку ( минус 2;0).

Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную зелёным цветом, и не проходить через точку  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Угловой коэффициент горизонтальной прямой a=0.

У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент a=0,5.

У прямой, проходящей через точку  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , угловой коэффициент a= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 умножить на левая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 4 плюс корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 2 минус 1, знаменатель: 7 конец дроби .

Таким образом, условие задачи выполняется при 0 меньше или равно a меньше дробь: числитель: 2 корень из 2 минус 1, знаменатель: 7 конец дроби или дробь: числитель: 2 корень из 2 минус 1, знаменатель: 7 конец дроби меньше a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Вернувшись к параметру k= дробь: числитель: 2a, знаменатель: 3 конец дроби , получаем:

0 меньше или равно k меньше дробь: числитель: 4 корень из (2) минус 2, знаменатель: 21 конец дроби или  дробь: числитель: 4 корень из (2) минус 2, знаменатель: 21 конец дроби меньше k меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Комментарий.

Изложим идею решения иными словами.

Обозначим в исходном уравнении x= косинус t, y= синус t. Далее заметим, что при условии x не равно y можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде y= дробь: числитель: 3k, знаменатель: 2 конец дроби (x плюс 2) (*). Отметим далее, что в силу введённых обозначений x в квадрате плюс y в квадрате =1 (**). Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти (0 меньше или равно x\leqslant1, 0 меньше или равно y \leqslant1) и отличные от точек прямой y=x.

 

Ответ: 0 меньше или равно k меньше дробь: числитель: 4 корень из (2) минус 2, знаменатель: 21 конец дроби или  дробь: числитель: 4 корень из (2) минус 2, знаменатель: 21 конец дроби меньше k меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 515710: 507224 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть C).
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром