Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 507224

Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение  дробь: числитель: 1 плюс (2 минус 2k) синус t, знаменатель: косинус t минус синус t конец дроби = 2k имеет хотя бы одно решение на интервале  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

Обозначим в исходном уравнении x= косинус t, y= синус t.

Имеем:

 дробь: числитель: 1 плюс (2 минус 2k)y, знаменатель: x минус y конец дроби = 2k равносильно система выражений 1 плюс 2y минус 2ky=2kx минус 2ky,x не равно y конец системы . равносильно система выражений y=kx минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , (*)x не равно y. конец системы .

Отметим далее, что в силу введённых обозначений x в квадрате плюс y в квадрате =1 (**). Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти (0 меньше x,y меньше 1) и отличные от точек прямой y=x.

В системе координат, изображённой на рисунке, уравнение (*) задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку (0; минус 0,5).

Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через (1; 0): k= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . У прямой, проходящей через точку  левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , угловой коэффициент k= дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 2 }2, знаменатель: дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс корень из 2 , знаменатель: корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: {, знаменатель: конец дроби sqrt2 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби .

Таким образом, условие задачи выполняется, если

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше k меньше дробь: числитель: корень из 2 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби или k больше дробь: числитель: корень из 2 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: корень из 2 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 2 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 515710: 507224 Все

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Методы алгебры: Введение замены