ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 507224 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение $дробь: числитель: 1 плюс (2 минус 2k) синус t, знаменатель: косинус t минус синус t конец дроби = 2k$ имеет хотя бы одно решение на интервале $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение.

Обозначим в исходном уравнении $x= косинус t,$ $y= синус t.$

Имеем:

$дробь: числитель: 1 плюс (2 минус 2k)y, знаменатель: x минус y конец дроби = 2k равносильно система выражений 1 плюс 2y минус 2ky=2kx минус 2ky,x не равно y конец системы . равносильно система выражений y=kx минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , (*)x не равно y. конец системы .$

Отметим далее, что в силу введённых обозначений $x в квадрате плюс y в квадрате =1 (**).$ Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением $(*),$ имеют с единичной окружностью $(**)$ точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти ( $0 меньше x,y меньше 1$ ) и отличные от точек прямой $y=x.$

В системе координат, изображённой на рисунке, уравнение $(*)$ задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку $(0; минус 0,5).$

Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через (1; 0): $k= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ У прямой, проходящей через точку $левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$ угловой коэффициент $k= дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 2 }2, знаменатель: дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс корень из 2 , знаменатель: корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: {, знаменатель: конец дроби sqrt2 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби .$

Таким образом, условие задачи выполняется, если

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше k меньше дробь: числитель: корень из 2 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби или k больше дробь: числитель: корень из 2 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: корень из 2 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 2 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 515710: 507224 Все

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены

РешениеСпрятать решение ·

· Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе