Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 516766

Дано квадратное уравнение ax в квадрате плюс bx плюс c=0, где a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень –7?

б) Может ли такое уравнение иметь корень –53?

в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?

Спрятать решение

Решение.

а) Да, например, 2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0.

б) Пусть уравнение ax в квадрате плюс bx плюс c=0 имеет корень −53. Тогда 53 в квадрате a минус 53b плюс c=0 левая круглая скобка * правая круглая скобка , откуда c=53b минус 53 в квадрате a, а значит, число с кратно 53. Среди натуральных чисел, не больших 100, такое число только одно: c=53. Подставляя в (*) вместо с число 53 и сокращая на 53, получаем 53a минус b плюс 1=0, откуда b=53a плюс 1. Если a больше или равно 2, то b больше или равно 107, поэтому a=1, b=54. Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число −53.

в) Рассуждая аналогично решению пункта б), докажем, что данное уравнение не может иметь целый корень, меньший –50. Для этого достаточно заменить в решении пункта б) число −53 на произвольное  целое  число,  меньшее –50, от этого рассуждение не изменится.

Корень, равный –50, у данного уравнения быть может: уравнение x в квадрате плюс 52x плюс 100=0 имеет корень –50 и полностью удовлетворяет условию задачи.

 

Ответ: а) да, например, 2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0; б) нет; в) –50.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 516766: 516785 Все

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1., Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (C часть).
Классификатор алгебры: Числа и их свойства