Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 516785

Дано квадратное уравнение ax в квадрате минус bx плюс c=0, где a, b, c — натуральные числа, не превосходящие 200. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень 9?

б) Может ли такое уравнение иметь корень 135?

в) Какой наибольший целый корень может иметь такое уравнение?

Спрятать решение

Решение.

а) Да, например, 2x в квадрате минус 20x плюс 18=0.

б) Пусть уравнение ax в квадрате минус bx плюс c=0 имеет корень 135. Тогда 135 в квадрате a минус 135b плюс c=0 левая круглая скобка * правая круглая скобка , откуда c=135b минус 135 в квадрате a, а значит, число с кратно 135. Среди натуральных чисел, не больших 200, такое число только одно: c=135. Подставляя в (*) вместо с число 135 и сокращая на 135, получаем 135a минус b плюс 1=0, откуда b=135a плюс 1. Если a больше или равно 2, то b больше или равно 270, поэтому a=1, b=136. Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число 135.

в) Рассуждая аналогично решению пункта б), докажем, что данное уравнение не может иметь целый корень, больший 100. Для этого достаточно заменить в решении пункта б) число 135 на произвольное целое число, большее 100, от этого рассуждение не изменится.

Корень, равный 100, у данного уравнения быть может: уравнение x в квадрате минус 102x плюс 200=0 имеет корень 100 и полностью удовлетворяет условию задачи.

 

Ответ: а) да, например, 2x в квадрате минус 20x плюс 18=0; б) нет; в) 100.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 516766: 516785 Все

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2., Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2. (C часть).
Классификатор алгебры: Числа и их свойства