Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 517200
i

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­ной AB  =  4 и диа­го­на­лью BD  =  7. Все бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды равны 4. На диа­го­на­ли BD ос­но­ва­ния ABCD от­ме­че­на точка E, а на ребре AS  — точка F так, что SF  =  BE  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CEF па­рал­лель­на ребру SB.

б)  Плос­кость CEF пе­ре­се­ка­ет ребро SD в точке Q. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки Q до плос­ко­сти ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Имеем DE=7 минус BE=4. Пусть пря­мая CE пе­ре­се­ка­ет ребро AB в точке M. Тре­уголь­ни­ки BME и DCE по­доб­ны, по­это­му дробь: чис­ли­тель: BM, зна­ме­на­тель: DC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BE, зна­ме­на­тель: DE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , от­ку­да BM=3. Тогда AM=1. Тре­уголь­ни­ки ABS и AMF по­доб­ны, зна­чит, FM||SB. По­это­му пря­мая SB па­рал­лель­на плос­ко­сти CEF.

 

б)  Из до­ка­зан­но­го в преды­ду­щем пунк­те сле­ду­ет, что QE||SB. Тогда дробь: чис­ли­тель: DQ, зна­ме­на­тель: QS конец дроби = дробь: чис­ли­тель: DE, зна­ме­на­тель: EB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ABCD. Так как все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны, SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Имеем:

SO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SA в квад­ра­те минус AO в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Плос­кость SDB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния, и про­ек­ция H точки Q на плос­кость ос­но­ва­ния лежит на от­рез­ке DO. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков DQH и DSO на­хо­дим QH= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби умно­жить на SO= дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 517200: 517238 525727 525746 Все

Классификатор стереометрии: Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти, Се­че­ние, па­рал­лель­ное или пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки, Че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026