В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
а) Имеем
Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке M. Треугольники BME и DCE подобны, поэтому 
откуда BM = 4. Тогда AM = 1. Треугольники ABS и AMF подобны, значит, FM || SB. Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF.
б) Прямая QE является пересечением плоскостей CEF и SBD, тогда из доказанного в предыдущем пункте следует, что QE || SB. Тогда 
Пусть O — центр основания ABCD. Так как все боковые ребра пирамиды равны, SO — высота пирамиды. Имеем:
Плоскость SDB перпендикулярна плоскости основания, и H — проекция точки Q на плоскость основания лежит на отрезке DO. Из подобия треугольников DQH и DSO находим
Ответ: 