СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 518144

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна боковому ребру SA. Медианы треугольника SBC пересекаются в точке M.

а) Докажите, что

б) Точка N — середина AM. Найдите SN, если .

Ре­ше­ние.

а) Обо­зна­чим через длину ребра пи­ра­ми­ды. Пусть SE — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка BSC, тогда

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ASE:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ASE,

Точка M яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан и по­то­му делит от­ре­зок SE в от­но­ше­нии 2:1. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ASM,

Таким об­ра­зом, AM = AD.

б) Сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка .

По фор­му­ле ме­ди­а­ны,

Ответ: б) .

Источник: ЕГЭ — 2017.Вариант 610 (C часть).
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Правильная четырёхугольная пирамида