Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 518144
i

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна бо­ко­во­му ребру SA. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка  SBC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что AM=AD.

б)  Точка N  — се­ре­ди­на AM. Най­ди­те SN, если AD=6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим через x длину ребра пи­ра­ми­ды. Пусть SE  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка  BSC, тогда

AE = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс BE в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ASE:

AE = дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , AS=x,SE= дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ASE

ко­си­нус \angleASE= дробь: чис­ли­тель: AS в квад­ра­те плюс SE в квад­ра­те минус AE в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2AS умно­жить на SE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Точка M яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан и по­то­му делит от­ре­зок SE в от­но­ше­нии 2 : 1. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ASM

AM в квад­ра­те =AS в квад­ра­те плюс SM в квад­ра­те минус 2AS умно­жить на SM умно­жить на ко­си­нус \angleASM=x в квад­ра­те .

Таким об­ра­зом, AM  =  AD.

 

б)  Сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка SAM:SA=AM=6,SM=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

По фор­му­ле ме­ди­а­ны

SN= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2SA в квад­ра­те плюс 2SM в квад­ра­те минус AM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б) ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: ЕГЭ — 2017. Ва­ри­ант 610 (часть 2)
Методы геометрии: Свой­ства ме­ди­ан, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025