а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна бо­ко­во­му ребру SA. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка  SBC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Точка N  — се­ре­ди­на AM. Най­ди­те SN, если

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром длина сто­ро­ны AC боль­ше длины сто­ро­ны BC, впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Точка B₁ сим­мет­рич­на точке B от­но­си­тель­но пря­мой CO.

а)  До­ка­жи­те, что A, B, O и B₁ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOB₁, если AB  =  10, AC  =  8 и BC  =  6.

Пен­си­он­ный фонд вла­де­ет цен­ны­ми бу­ма­га­ми, ко­то­рые стоят 10t тыс. руб­лей в конце года t (t  =  1, 2, ...). В конце лю­бо­го года пен­си­он­ный фонд может про­дать цен­ные бу­ма­ги и по­ло­жить день­ги на счёт в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся на 24%. В конце ка­ко­го года пен­си­он­но­му фонду сле­ду­ет про­дать цен­ные бу­ма­ги, чтобы в конце два­дца­то­го года сумма на его счёте была наи­боль­шей?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [2; 6].

В каж­дой клет­ке квад­рат­ной таб­ли­цы 5×5 стоит на­ту­раль­ное число, мень­шее 6. Вася в каж­дом столб­це на­хо­дит сумму чисел и из по­лу­чен­ных сумм вы­би­ра­ет наи­мень­шую. Петя в каж­дой стро­ке на­хо­дит сумму чисел и из по­лу­чен­ных сумм вы­би­ра­ет наи­мень­шую.

а)  Может ли число у Пети по­лу­чить­ся в два раза боль­ше, чем число у Васи?

б)  Может ли число у Пети по­лу­чить­ся в пять раз боль­ше, чем число у Васи?

в)  В какое наи­боль­шее число раз число у Пети может быть боль­ше, чем число у Васи?