СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 519515

В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA . Через вершину A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.

а) Докажите, что плоскость α делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2 : 1, считая от вершины P.

б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.

Решение.

а) Пусть прямая AK пересекает прямую PH в точке M. Так как и то Далее имеем: .

Значит, AK ― высота и медиана правильного треугольника PAC. Следовательно, M ― точка пересечения медиан этого треугольника, откуда и получаем что и требовалось доказать.

б) Пусть точка L ― проекция точки K на плоскость ABC, . Так как и то L ― середина CH. Отрезок BL ― проекция отрезка BK на плоскость ABC. Далее, поскольку точка H ― проекция прямой PH на плоскость ABC. Значит, расстояние между прямыми PH и BK равно расстоянию от точки H до прямой BL, то есть высоте HF треугольника BHL.

Далее имеем:

Ответ: б) .


Аналоги к заданию № 519515: 519541 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Правильная четырёхугольная пирамида, Расстояние между скрещивающимися прямыми, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой