СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 519541

Основание пирамиды PABC ― правильный треугольник ABC, сторона которого равна 16, боковое ребро PA. Высота пирамиды PH делит высоту AM треугольника ABC пополам. Через вершину A проведена плоскость, перпендикулярная прямой PM и пересекающая прямую PM в точке K.

а) Докажите, что плоскость делит высоту PH пирамиды PABC в отношении 2:1, считая от вершины P.

б) Найдите расстояние между прямыми PH и CK.

Решение.

а) Пусть прямая AK пересекает прямую PH в точке N (см. рисунок 1). Так как и , то . Далее имеем: . Значит, AK ― высота и медиана треугольника PAM. Следовательно, N ― точка пересечения медиан этого треугольника, откуда и получаем , что и требовалось доказать.

б) Пусть точка L ― проекция точки K на плоскость ABC, тогда и, значит, . Так как и , то L ― середина MH. Отрезок CL ― проекция отрезка CK на плоскость ABC.

Далее, поскольку , точка H ― проекция прямой PH на плоскость ABC. Значит, расстояние между прямыми PH и CK равно расстоянию от точки H до прямой CL, т.е., высоте HF треугольника CHL. (см. рисунок 2).

Далее имеем: , ,

, . Так как , то . Таким образом, .

 

Ответ: б) .


Аналоги к заданию № 519515: 519541 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 2.