а)  Пусть пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет пря­мую PH в точке M. и по­это­му по­это­му AK  ― вы­со­та и ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка PAC. Сле­до­ва­тель­но, M  ― точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан этого тре­уголь­ни­ка, от­ку­да и по­лу­ча­ем PM : MH  =  2 : 1.

б)  Пусть точка L  ― про­ек­ция точки K на плос­кость ABC. KL || PH и PK  =  KC, по­это­му и L  ― се­ре­ди­на CH. От­ре­зок BL  ― про­ек­ция от­рез­ка BK на плос­кость ABC. По­сколь­ку точка H  ― про­ек­ция пря­мой PH на плос­кость ABC. Зна­чит, рас­сто­я­ние между пря­мы­ми PH и BK равно рас­сто­я­нию от точки H до пря­мой BL, то есть вы­со­те h тре­уголь­ни­ка BHL про­ве­ден­ной из вер­ши­ны H.

Далее имеем:

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

б)  По­сколь­ку тре­уголь­ник PAC  — рав­но­сто­рон­ний, то

Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Имеем:

Рас­смот­рим плос­кость α, ко­то­рая про­хо­дит через пря­мую PH па­рал­лель­но пря­мой BK. Век­тор па­рал­ле­лен плос­ко­сти α, а зна­чит, пер­пен­ди­ку­ля­рен нор­ма­ли к ней. Пусть век­тор нор­ма­ли имеет ко­ор­ди­на­ты тогда

Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек P и H в урав­не­ние плос­ко­сти по­лу­чим си­сте­му урав­не­ний:

Вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы вто­рое, по­лу­чим: от­ку­да Под­ста­вим в тре­тье урав­не­ние, по­лу­чим от­ку­да На­хо­дим D:

По­лу­ча­ем урав­не­ние плос­ко­сти α:

сле­до­ва­тель­но, век­тор нор­ма­ли к плос­ко­сти α имеет ко­ор­ди­на­ты Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми PH и BK равно

а)  Пусть пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет пря­мую PH в точке N (см. рис. 1). Так как и то Далее имеем: Зна­чит, AK ― вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка PAM. Сле­до­ва­тель­но, N ― точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан этого тре­уголь­ни­ка, от­ку­да и по­лу­ча­ем что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть точка L ― про­ек­ция точки K на плос­кость ABC, тогда и, зна­чит, Так как и то L ― се­ре­ди­на MH. От­ре­зок CL ― про­ек­ция от­рез­ка CK на плос­кость ABC.

Далее, по­сколь­ку точка H ― про­ек­ция пря­мой PH на плос­кость ABC. Зна­чит, рас­сто­я­ние между пря­мы­ми PH и CK равно рас­сто­я­нию от точки H до пря­мой CL, т. е., вы­со­те HF тре­уголь­ни­ка CHL. (см. рис. 2).

Далее имеем:

Так как то Таким об­ра­зом,

Ответ: б)