Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519520

Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а) Является ли число 1234 хорошим?

б) Является ли число 12345 хорошим?

в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.

Спрятать решение

Решение.

а) Да, является: 1243 делится на 11.

Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 4312.

 

б) По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 15 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит  левая круглая скобка 5 плюс 4 плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка =9, что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 12345 не будет делиться на 11. Таким образом, 12345 не является хорошим.

 

в) Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Докажем, что число, составленное из всех этих пяти цифр, не может делиться на 11. Обозначим сумму цифр, стоящих на нечетных местах искомого числа через a, а сумму цифр, стоящих на четных местах — через b. Тогда a плюс b=1 плюс 3 плюс 5 плюс 7 плюс 9=25, а, значит, их разность также нечётна, то есть не равна 0.

Заметим также, что , так как 4 меньше или равно a,b меньше или равно 21. Пусть |a минус b|=11, тогда одно из чисел a и b, равно 7, а второе ― 18, (поскольку их сумма равна 25). Но 7 нельзя представить, ни в виде суммы двух, ни в виде суммы трёх нечетных чисел, значит, данный случай невозможен.

Значит, разность этих чисел не делится на 11, то есть число 13579 не является хорошим. Таким образом, в искомом числе не более 4 цифр. В этом случае наибольшее возможное число ― 9753. Оно является хорошим, так как 9735 делится на 11.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 9753.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из перечисленных результатов:

― верный пример в пункте а);

― обоснованное решение пункта б);

― доказательство того, что в пункте в) количество цифр не превосходит четырёх;

― приведён пример наибольшего хорошего четырёхзначного числа.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 519520: 519546 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Кирилл Камаев 15.04.2018 20:19

в ответе под пунктом в указан неверный ответ "9753", в отличие от пояснения, где все правильно. Необходимо исправить "9753" НА "9735".

Александр Иванов

по условию задачи "хорошее" число не обязательно должно делиться на 11

Слава Романов 29.05.2018 13:27

в ответе опечатка. Ответ не 9753, а 9735, т.к. 9753 не делится на 11 хоть сумма цифр и даёт число кратное 11. Можно применить ещё одну проверку кратности 11: сложить цифры в четных позициях и вычесть сумму цифр в нечётных позициях должно получится или 0 или число как раз таки кратное 11

Александр Иванов

Прочитайте внимательно условие задачи.