Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519546

Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а)  Является ли число 5432 хорошим?

б)  Является ли число 10235 хорошим?

в)  Найти наименьшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, является: 2453 делится на 11.

Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 5423.

б)  По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 11 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит  левая круглая скобка 5 плюс 3 плюс 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 плюс 0 правая круглая скобка =9, что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 10235, не будет делиться на 11. Таким образом, 10235 не является хорошим.

в)  Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Очевидно, числа, составленные из одной или двух различных цифр, не делятся на 11. Рассмотрим число, составленное из трех различных нечетных цифр. Наименьшее возможное число ― число, первые две цифры которого 1 и 3. В качестве третьей нельзя рассмотреть 5 или 7, так как в этом случае сумма всех цифр будет нечетна, а значит и разность между суммами цифр на четных и нечетных местах будет нечетной, то есть не равной нулю.

При этом данная разность не превосходит  левая круглая скобка 7 плюс 3 правая круглая скобка минус 1=9, что меньше 11. Значит, числа 135 и 137 хорошими не являются. А 139  — хорошее, так как 319 делится на 11.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 139.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из перечисленных результатов:

― верный пример в пункте а);

― обоснованное решение пункта б);

― доказательство того, что в пункте в) количество цифр не превосходит четырёх;

― приведён пример наибольшего хорошего четырёхзначного числа.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 519520: 519546 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 2.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства