Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 519810
i

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да MABCD, все рёбра ко­то­рой равны 12. Точка N  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра MA, точка K делит бо­ко­вое ребро MB в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны M.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки N и K па­рал­лель­но пря­мой AD, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Через точки N и K про­ведём пря­мые, па­рал­лель­ные ребру AD. Эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют рёбра MD и MC в точ­ках P и L со­от­вет­ствен­но. Четырёхуголь­ник KLPN  — се­че­ние пи­ра­ми­ды ука­зан­ной плос­ко­стью. Сто­ро­ны NP и KL па­рал­лель­ны и не равны. Сле­до­ва­тель­но, KLPN  — тра­пе­ция. В тре­уголь­ни­ках NMK и PML углы при вер­ши­не M равны, ML  =  MK, MN  =  MP. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны, и по­это­му NK  =  PL. Таким об­ра­зом, тра­пе­ция KLPN рав­но­бед­рен­ная.

б)  Пусть NH  — вы­со­та тра­пе­ции KLPN. Имеем

NP= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AD=6,KL= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби BC=8.

Найдём NK из тре­уголь­ни­ка NMK. Имеем NM  =  NP  =  6, MK  =  KL  =  8. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

NK в квад­ра­те =NM в квад­ра­те плюс MK в квад­ра­те минус 2NM умно­жить на MK умно­жить на ко­си­нус \angleNMK=36 плюс 64 минус 48=52.

Тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, по­это­му KH= дробь: чис­ли­тель: KL минус NP, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка KHN по­лу­ча­ем:

NH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: NK в квад­ра­те минус HK в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 52 минус 1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та .

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тра­пе­ции равна

дробь: чис­ли­тель: KL плюс NP, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на NH= дробь: чис­ли­тель: 8 плюс 6, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та =7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б) 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 519810: 519829 Все

Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: Пло­щадь се­че­ния, Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, Се­че­ние  — тра­пе­ция, Се­че­ние, па­рал­лель­ное или пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026