В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ = 8, ВВ1 = 6, В1С1 = 15.
а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС1. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1 — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.
Прямая СС1 является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС1 (BС и СС1), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1 и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, угол АВС1 прямой.
б) Поскольку прямые ВВ1 и СС1 параллельны, искомый угол равен углу АС1С.
Треугольники АВС и АСС1 являются прямоугольными, поэтому:
Ответ: 
Приведем другой способ решений.
a) Введем систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек A, B и C1. Пусть 
а радиус основания — r, тогда 
Найдем координаты векторов 
и 
Найдем длины векторов и 
Найдем косинус угла между этими векторами:
Значит, угол АВС1 прямой.