ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Тип 14 № 520803 Добавить в вариант

i

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок  АС₁ пересекает ось цилиндра.

а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б)  Найдите угол между прямыми ВВ₁ и АС₁, если АВ  =  6, ВВ₁  =  15, В₁С₁  =  8.

Решение.

а)  Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС₁. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС₁  — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.

Прямая СС₁ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС₁ (BС и СС₁), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС₁ и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и ВС₁. Значит, угол АВС₁ прямой.

б)  Поскольку прямые ВВ₁ и СС₁ параллельны, искомый угол равен углу АС₁С. Треугольники АВС и АСС₁ являются прямоугольными, поэтому

$AC= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс B_1C_1 в квадрате конец аргумента =10;$ $тангенс \widehatAC_1C= дробь: числитель: AC, знаменатель: CC_1 конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: BB_1 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $арктангенс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Приведем другое решение пункта а).

Введем систему координат, как показано на рисунке. Пусть $BB_1=h,$ а радиус основания равен  r. Найдем координаты точек A, B и C₁:

$A левая круглая скобка r;0;0 правая круглая скобка ,$

$B левая круглая скобка r синус альфа ;r косинус альфа ;0 правая круглая скобка ,$

$C_1 левая круглая скобка минус r;0;h правая круглая скобка .$

Найдем координаты векторов $\overrightarrowAB$ и $\overrightarrowBC_1:$

$\overrightarrowAB = левая круглая скобка r синус альфа минус r;r косинус альфа ;0 правая круглая скобка ,$

$\overrightarrowBC_1 = левая круглая скобка минус r синус альфа минус r; минус r косинус альфа ;h правая круглая скобка .$

Тогда скалярное произведение равно:

$\overrightarrowAB умножить на \overrightarrowBC_1=r левая круглая скобка синус альфа минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус r правая круглая скобка левая круглая скобка синус альфа плюс 1 правая круглая скобка плюс r косинус альфа умножить на левая круглая скобка минус r правая круглая скобка косинус альфа плюс 0 умножить на h=$

$=r в квадрате левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате альфа правая круглая скобка минус r в квадрате косинус в квадрате альфа =r в квадрате косинус в квадрате альфа минус r в квадрате косинус в квадрате альфа =0$

Значит, угол АВС₁ прямой.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 520803: 520853 520879 520915 Все

Источники:

ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 301 (часть 2);

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018.

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 14 № 520853 Добавить в вариант

i

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.

а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б)  Найдите угол между прямыми ВВ₁ и АС₁, если АВ  =  8, ВВ₁  =  6, В₁С₁  =  15.

Решение.

а)  Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС₁. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС₁  — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.

Прямая СС₁ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС₁ (BС и СС₁), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС₁ и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, угол АВС₁ прямой.

б)  Поскольку прямые ВВ₁ и СС₁ параллельны, искомый угол равен углу АС₁С.

Треугольники АВС и АСС₁ являются прямоугольными, поэтому:

$AC= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс B_1C_1 в квадрате конец аргумента =17;$ $тангенс \widehatAC_1C= дробь: числитель: AC, знаменатель: CC_1 конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: BB_1 конец дроби = дробь: числитель: 17, знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: $арктангенс дробь: числитель: 17, знаменатель: 6 конец дроби .$

Приведем другой способ решений.

a)  Введем систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек A, B и C₁. Пусть $BB_1=x,$ а радиус основания  — r, тогда $A левая фигурная скобка r;0;0 правая фигурная скобка ,$ $B левая фигурная скобка 0;r;0 правая фигурная скобка ,$ $C_1 левая фигурная скобка минус r;0;x правая фигурная скобка .$

Найдем координаты векторов $\overrightarrowAB$ и $\overrightarrowBC_1:$ $\overrightarrowAB левая фигурная скобка минус r;r;0 правая фигурная скобка ,$ $\overrightarrowBC_1 левая фигурная скобка минус r; минус r;x правая фигурная скобка .$

Найдем длины векторов $\overrightarrowAB$ и $\overrightarrowBC_1:$ $\left|\overrightarrowAB|= корень из: начало аргумента: r в квадрате плюс r в квадрате конец аргумента ,$ $\left|\overrightarrowBC_1|= корень из: начало аргумента: r в квадрате плюс r в квадрате плюс x в квадрате конец аргумента .$

Найдем косинус угла между этими векторами:

$косинус левая круглая скобка \overrightarrowAB,\overrightarrowBC_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: \left|r в квадрате минус r в квадрате плюс 0|, знаменатель: корень из: начало аргумента: r в квадрате плюс r в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: r в квадрате плюс r в квадрате плюс x в квадрате конец аргумента конец дроби =0.$

Значит, угол АВС₁ прямой.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 520803: 520853 520879 520915 Все

Источники:

ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 302 (часть 2);

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018.

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 14 № 520879 Добавить в вариант

i

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.

а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б)  Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁, если AB  =  21, BB₁  =  12, B₁C₁  =  16.

Решение.

а)  Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС₁. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС₁  — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.

Прямая СС₁ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС₁ (BС и СС₁), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС₁ и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, угол АВС₁ прямой.

б)  Треугольник ABC₁ прямоугольный, поэтому искомое расстояние равно его высоте h, проведённой к гипотенузе. Получаем:

$BC_1= корень из: начало аргумента: BB_1 в квадрате плюс B_1C_1 в квадрате конец аргумента =20;AC_1= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BC_1 в квадрате конец аргумента =29;h= дробь: числитель: AB умножить на BC_1, знаменатель: AC_1 конец дроби = дробь: числитель: 420, знаменатель: 29 конец дроби .$ $BC_1= корень из: начало аргумента: BB_1 в квадрате плюс B_1C_1 в квадрате конец аргумента =20;AC_1=$
$= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BC_1 в квадрате конец аргумента =29;h= дробь: числитель: AB умножить на BC_1, знаменатель: AC_1 конец дроби = дробь: числитель: 420, знаменатель: 29 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: 420, знаменатель: 29 конец дроби .$

Приведем другое решение пункта а).

Введем систему координат, как показано на рисунке. Пусть $BB_1=h,$ а радиус основания равен  r. Найдем координаты точек A, B и C₁:

$A левая круглая скобка r;0;0 правая круглая скобка ,$

$B левая круглая скобка r синус альфа ;r косинус альфа ;0 правая круглая скобка ,$

$C_1 левая круглая скобка минус r;0;h правая круглая скобка .$

Найдем координаты векторов $\overrightarrowAB$ и $\overrightarrowBC_1:$

$\overrightarrowAB = левая круглая скобка r синус альфа минус r;r косинус альфа ;0 правая круглая скобка ,$

$\overrightarrowBC_1 = левая круглая скобка минус r синус альфа плюс r; минус r косинус альфа ;h правая круглая скобка .$

Тогда скалярное произведение равно:

$\overrightarrowAB умножить на \overrightarrowBC_1=r левая круглая скобка синус альфа минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус r правая круглая скобка левая круглая скобка синус альфа плюс 1 правая круглая скобка плюс r косинус альфа умножить на левая круглая скобка минус r правая круглая скобка косинус альфа плюс 0 умножить на h=$

$=r в квадрате левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате альфа правая круглая скобка минус r в квадрате косинус в квадрате альфа =r в квадрате косинус в квадрате альфа минус r в квадрате косинус в квадрате альфа =0$

Значит, угол АВС₁ прямой.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 520803: 520853 520879 520915 Все

Источники:

ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 313 (часть 2);

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018.

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 14 № 520915 Добавить в вариант

i

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.

а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б)  Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁, если AB  =  15, BB₁  =  16, B₁C₁  =  12.

Решение.

а)  Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС₁. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС₁  — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.

Прямая СС₁ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС₁ (BС и СС₁), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС₁ и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, угол АВС₁ прямой.

б)  Треугольник ABC₁ прямоугольный, поэтому искомое расстояние равно его высоте h, проведённой к гипотенузе. Получаем:

$BC_1= корень из: начало аргумента: BB_1 в квадрате плюс B_1C_1 в квадрате конец аргумента =20;AC_1= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BC_1 в квадрате конец аргумента =25;h= дробь: числитель: AB умножить на BC_1, знаменатель: AC_1 конец дроби =12$ $BC_1= корень из: начало аргумента: BB_1 в квадрате плюс B_1C_1 в квадрате конец аргумента =20;AC_1=$
$= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BC_1 в квадрате конец аргумента =25;h= дробь: числитель: AB умножить на BC_1, знаменатель: AC_1 конец дроби =12$

Ответ: б) 12

Приведем другое решение пункта а).

Введем систему координат, как показано на рисунке. Пусть $BB_1=h,$ а радиус основания равен  r. Найдем координаты точек A, B и C₁:

$A левая круглая скобка r;0;0 правая круглая скобка ,$

$B левая круглая скобка r синус альфа ;r косинус альфа ;0 правая круглая скобка ,$

$C_1 левая круглая скобка минус r;0;h правая круглая скобка .$

Найдем координаты векторов $\overrightarrowAB$ и $\overrightarrowBC_1:$

$\overrightarrowAB = левая круглая скобка r синус альфа минус r;r косинус альфа ;0 правая круглая скобка ,$

$\overrightarrowBC_1 = левая круглая скобка минус r синус альфа плюс r; минус r косинус альфа ;h правая круглая скобка .$

Тогда скалярное произведение равно:

$\overrightarrowAB умножить на \overrightarrowBC_1=r левая круглая скобка синус альфа минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус r правая круглая скобка левая круглая скобка синус альфа плюс 1 правая круглая скобка плюс r косинус альфа умножить на левая круглая скобка минус r правая круглая скобка косинус альфа плюс 0 умножить на h=$

$=r в квадрате левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате альфа правая круглая скобка минус r в квадрате косинус в квадрате альфа =r в квадрате косинус в квадрате альфа минус r в квадрате косинус в квадрате альфа =0$

Значит, угол АВС₁ прямой.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 520803: 520853 520879 520915 Все

Источники:

ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 314 (часть 2);

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018.

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь