Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521674
i

Ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС окруж­но­сти равен дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Окруж­ность ра­ди­у­са дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из 3 конец дроби ка­са­ет­ся впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС окруж­но­сти в точке Т, а также ка­са­ет­ся лучей, об­ра­зу­ю­щих угол АСВ. Окруж­но­сти ка­са­ют­ся пря­мой АС в точ­ках К и М.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник КТМ пря­мо­уголь­ный

б)  Най­ди­те тан­генс угла АВС, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , а наи­боль­шей из его сто­рон яв­ля­ет­ся сто­ро­на АС.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим центр впи­сан­ной окруж­но­сти за O_1, а дру­гой за O_2. Тогда

 

\angle KTM=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle KTO_1 минус \angle MTO_2=

 

=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle KO_1T пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle MO_2T пра­вая круг­лая скоб­ка =

 

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка \angle KO_1T плюс \angle MO_2T пра­вая круг­лая скоб­ка =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­сколь­ку KO_1\parallel MO_2.

 

б)  Обо­зна­чим длины сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC: AB=c,AC=b,BC=a. По фор­му­ле для ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти имеем

 

r= дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: p конец дроби , дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: p конец дроби , от­ку­да p=9, a плюс b плюс c=18.

 

Фор­му­ла Ге­ро­на дает 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 9 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9 минус b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9 минус c пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та , от­ку­да левая круг­лая скоб­ка 9 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9 минус b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9 минус c пра­вая круг­лая скоб­ка =15.

 

На­ко­нец, цен­тры окруж­но­стей лежат на бис­сек­три­се угла C. Тогда тре­уголь­ни­ки CO_1K и CO_2M по­доб­ны. Обо­зна­чив CO_1=x, най­дем

 

дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец дроби , от­ку­да x= дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Зна­чит, синус \angle KCO_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и ко­си­нус \angle ACB=1 минус 2 синус в квад­ра­те \angle KCO_1= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем c в квад­ра­те =a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ab.

 

Те­перь у нас есть си­сте­ма трех урав­не­ний с тремя не­из­вест­ны­ми, оста­лось ее ре­шить.

 

Обо­зна­чим a плюс b=t, ab=u, c=18 минус t. По­лу­чим

левая круг­лая скоб­ка 81 минус 9t плюс u пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка =15 и левая круг­лая скоб­ка 18 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =t в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби u

Из по­след­не­го имеем u= дробь: чис­ли­тель: 144 левая круг­лая скоб­ка t минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби . Под­ста­вим это в преды­ду­щее и по­лу­чим левая круг­лая скоб­ка t минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =25, от­ку­да t=14 (по­сколь­ку a плюс b боль­ше дробь: чис­ли­тель: p, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =9 пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, u=48 и мы можем по тео­ре­ме Виета уга­дать сто­ро­ны a=6, b=8, c=4 (пер­вые две можно было бы по­ме­нять ме­ста­ми, но по усло­вию AC  — наи­боль­шаяя сто­ро­на).

 

Те­перь по тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем 64=36 плюс 16 минус 48 ко­си­нус \angle CBA, то есть ко­си­нус \angle CBA= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и тан­генс \angle CBA= минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 224
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, По­до­бие, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025