Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521674

Радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен  дробь, числитель — корень из { 15}, знаменатель — 3 Окружность радиуса  дробь, числитель — 5 корень из 5 , знаменатель — 3 корень из 3 касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке Т, а также касается лучей, образующих угол АСВ. Окружности касаются прямой АС в точках К и М.

а) Докажите, что треугольник КТМ прямоугольный

б) Найдите тангенс угла АВС, если площадь треугольника АВС равна 3 корень из { 15}, а наибольшей из его сторон является сторона АС.

Решение.

а) Обозначим центр вписанной окружности за O_1, а другой за O_2. Тогда

 

\angle KTM=180 в степени \circ минус \angle KTO_1 минус \angle MTO_2=

 

=180 в степени \circ минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (180 в степени \circ минус \angle KO_1T) минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (180 в степени \circ минус \angle MO_2T)=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (\angle KO_1T плюс \angle MO_2T)=90 в степени \circ ,

поскольку KO_1\parallel MO_2.

 

б) Обозначим длины сторон треугольника ABC: AB=c,AC=b,BC=a. По формуле для радиуса вписанной окружности имеем

 

r= дробь, числитель — S, знаменатель — p ,  дробь, числитель — корень из { 15}, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 3 корень из { 15}, знаменатель — p , откуда p=9, a плюс b плюс c=18.

 

Формула Герона дает 3 корень из { 15}=3 корень из { (9 минус a)(9 минус b)(9 минус c)}, откуда (9 минус a)(9 минус b)(9 минус c)=15.

 

Наконец, центры окружностей лежат на биссектрисе угла C. Тогда треугольники CO_1K и CO_2M подобны. Обозначив CO_1=x, найдем

 

 дробь, числитель — x, знаменатель — дробь, числитель — корень из { 15 , знаменатель — { 3}}= дробь, числитель — x плюс дробь, числитель — корень из { 15, знаменатель — , знаменатель — 3 плюс дробь, числитель — 5 корень из { 5}, знаменатель — 3 корень из { 3 }}{ дробь, числитель — 5 корень из { 5}, знаменатель — 3 корень из { 3 }}, откуда x= дробь, числитель — 4 корень из { 15}, знаменатель — 3 . Значит,  синус \angle KCO_1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 и  косинус \angle ACB=1 минус 2 синус в степени 2 \angle KCO_1= дробь, числитель — 7, знаменатель — 8 . Тогда по теореме косинусов имеем c в степени 2 =a в степени 2 плюс b в степени 2 минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 4 ab.

 

Теперь у нас есть система трех уравнений с тремя неизвестными, осталось ее решить.

 

Обозначим a плюс b=t, ab=u, c=18 минус t. Получим

(81 минус 9t плюс u)(t минус 9)=15 и (18 минус t) в степени 2 =t в степени 2 минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 4 u

Из последнего имеем u= дробь, числитель — 144(t минус 9), знаменатель — 15 . Подставим это в предыдущее и получим (t минус 9) в степени 2 =25, откуда t=14 (поскольку a плюс b больше дробь, числитель — p, знаменатель — 2 =9). Значит, u=48 и мы можем по теореме Виета угадать стороны a=6, b=8, c=4 (первые две можно было бы поменять местами, но по условию AC — наибольшаяя сторона).

 

Теперь по теореме косинусов имеем 64=36 плюс 16 минус 48 косинус \angle CBA, то есть  косинус \angle CBA= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 и  тангенс \angle CBA= минус корень из { 15}.

 

Ответ:  минус корень из { 15}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 224.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в треугольник, Подобие, Треугольники