Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 525243

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка QN, если BC = 4,5, AD = 21,5, AB = 26, CD = 25, а угол CPD — прямой.

Решение.

а) Пусть угол BPQ равен γ. Четырёхугольник PBCQ — вписанный, сумма его противоположных углов равна 180°, поэтому \angle BCQ = 180 в степени circ минус \gamma. Угол MPQ смежный с углом BPQ, поэтому \angle MPQ = 180 в степени circ минус \gamma. Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна BC, поэтому \angle MNC = 180 в степени circ минус \angle BCN = 180 в степени circ минус (180 в степени circ минус \gamma) = \gamma. Тем самым, в четырехугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°: \angle MPQ плюс \angle MQN = 180 в степени circ минус \gamma плюс \gamma = 180 в степени circ, а значит, он вписанный.

б) В прямоугольном треугольнике CPD проведенная к гипотенузе медиана равна ее половине: PN= дробь, числитель — 25, знаменатель — 2 . Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: MN= дробь, числитель — 21,5 плюс 4,5, знаменатель — 2 =13. Через вершину трапеции B проведем прямую, параллельную боковой стороне CD, пусть L — точка ее пересечения с основанием AD. Стороны треугольника ABL равны 26, 17 и 25. Найдем его площадь по формуле Герона, затем найдем высоту h, проведенную к стороне AL, она будет являться также высотой трапеции ABCD:

h= дробь, числитель — 2S, знаменатель — AL = дробь, числитель — 2 корень из { 34 умножить на 8 умножить на 17 умножить на 9} , знаменатель — 17 = 24.

Отсюда находим:  синус \angle BAD= дробь, числитель — h, знаменатель — AB = дробь, числитель — 12, знаменатель — 13 ,  синус \angle CDA= дробь, числитель — h, знаменатель — CD = дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 .

Поскольку \angle PMN=\angle BAD по теореме синусов для треугольника MPN найдем радиус окружности, описанной около треугольника MPQ:

R = дробь, числитель — PN, знаменатель — 2 синус \angle PMN = дробь, числитель — 25, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — 12 {13, знаменатель — } = дробь, числитель — 325, знаменатель — 48 .

Так как \angle QNM=\angle CDA, можно найти MQ по теореме синусов для треугольника MQN:

MQ=2R синус \angle QNM=2 умножить на дробь, числитель — 325, знаменатель — 48 умножить на дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 =13.

Таким образом, треугольник MQN — равнобедренный, тогда

QN=2MN косинус \angle MNQ=2 умножить на 13 умножить на корень из { 1 минус левая круглая скобка дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 правая круглая скобка в степени 2 }=26 умножить на дробь, числитель — корень из { 25 в степени 2 минус 24 в степени 2 }, знаменатель — 25 = 26 умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — 25 = дробь, числитель — 182, знаменатель — 25 .

Ответ: а) доказано, б)  дробь, числитель — 182, знаменатель — 25 .

 

 

Приведём другое решение пункта б).

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке R. Заметим, что треугольники MNR и BCR подобны с коэффициентом k= дробь, числитель — 4,5, знаменатель — 13 = дробь, числитель — 9, знаменатель — { 26}. Тогда  дробь, числитель — x, знаменатель — { x плюс 13} = дробь, числитель — 9, знаменатель — { 26}, откуда x= дробь, числитель — 117, знаменатель — 17 и  дробь, числитель — y, знаменатель — { y плюс 12,5} = дробь, числитель — 9, знаменатель — { 26}, откуда y= дробь, числитель — 225, знаменатель — 34 .

Через вершину B проведем отрезок BL, параллельный CN, получим треугольник MBL со сторонами 13, 12,5 и 8,5, к которому применим теорему косинусов. Для удобства можно рассмотреть подобный ему треугольник со сторонами 26, 25 и 17, для которого 25 в степени 2 = 26 в степени 2 плюс 17 в степени 2 минус 2 умножить на 26 умножить на 17 косинус A, откуда  косинус A = дробь, числитель — 5, знаменатель — { 13}.

По условию, треугольник CPD прямоугольный, отрезок PN является в нем медианой, проведенной к гипотенузе. Поэтому PN = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CD = 12,5. В треугольнике MPN угол M равен углу А, тогда по теореме косинусов имеем:

 PN в степени 2 = MP в степени 2 плюс MN в степени 2 минус 2 MP умножить на MN косинус A равносильно 12,5 в степени 2 = MP в степени 2 плюс 13 в степени 2 минус 2 умножить на 13 умножить на MP умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — { 13} равносильно

 равносильно MP в степени 2 минус 10 MP плюс 12,75 = 0, откуда MP = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 или MP = дробь, числитель — 17, знаменатель — 2 .

Далее из подобия получаем:

 дробь, числитель — RQ, знаменатель — RM = дробь, числитель — RP, знаменатель — RN равносильно дробь, числитель — RQ, знаменатель — 13 плюс дробь, числитель — 117 {17, знаменатель — } = дробь, числитель — 13 плюс дробь, числитель — 117, знаменатель — 17 минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 , знаменатель — { 12,5 плюс дробь, числитель — 225, знаменатель — 34 } равносильно RQ = дробь, числитель — 325, знаменатель — 17 ,

 

откуда QN = RN минус RQ = 12,5 плюс дробь, числитель — 225, знаменатель — 34 минус дробь, числитель — 325, знаменатель — 17 = 0, или

 дробь, числитель — RQ, знаменатель — RM = дробь, числитель — RP, знаменатель — RN равносильно дробь, числитель — RQ, знаменатель — 13 плюс дробь, числитель — 117 {17, знаменатель — } = дробь, числитель — 13 плюс дробь, числитель — 117, знаменатель — 17 минус дробь, числитель — 17, знаменатель — 2 , знаменатель — 12,5 плюс дробь, числитель — 225 {34, знаменатель — } равносильно RQ = дробь, числитель — 5031, знаменатель — 425 ,

откуда QN = RN минус RQ = 12,5 плюс дробь, числитель — 225, знаменатель — 34 минус дробь, числитель — 5031, знаменатель — 425 = дробь, числитель — 182, знаменатель — 25 .

 

Приведём ещё одно решение пункта б).

По условию, четырехугольник PBCQ вписанный. Из этого следует, что углы PBQ и PCQ равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.

Заметим, что поскольку углы QNM и CDA равны, сумма противоположных углов АPQ и ADQ четырехугольника APQD также равна 180°, а значит, он тоже вписанный. Из этого следует, что углы PAQ и PDQ равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.

Объединяя эти наблюдения, заключаем, что в треугольниках CPD и BQA есть две пары равных углов:

\widehat{ABQ} = \widehat{PBQ} = \widehat{PCQ} = \widehat{PCD},

\widehat{BAQ} = \widehat{PAQ} = \widehat{PDQ} = \widehat{PDC},

Но по условию, угол CPD прямой. Следовательно, угол BQA тоже прямой.

В прямоугольном треугольнике BQA проведенная к гипотенузе BA медиана равна ее половине: MQ=13. Средняя линия трапеции ABCD равна полусумме оснований: MN=13. Следовательно, треугольник MQN — равнобедренный. Тогда QN=2MN косинус \widehat{MNQ} =26 косинус \widehat{ADC}.

Через вершину трапеции C проведем прямую, параллельную боковой стороне AB, и пусть S — точка ее пересечения с основанием трапеции AD. Стороны треугольника SCD равны 26, 17 и 25. Применим теорему косинусов:  CS в степени 2 = SD в степени 2 плюс DC в степени 2 минус 2 умножить на SD умножить на BC умножить на косинус \widehat{ADC}, откуда

 косинус \widehat{ADC} = дробь, числитель — 17 в степени 2 плюс 25 в степени 2 минус 26 в степени 2 , знаменатель — 2 умножить на 17 умножить на 25 = дробь, числитель — 17 в степени 2 минус 51, знаменатель — 2 умножить на 17 умножить на 25 = дробь, числитель — 7, знаменатель — 25 .

Тем самым, QN=26 умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — 25 = дробь, числитель — 182, знаменатель — 25 .

Источник: ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 3 (только часть С)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника