а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пи­ра­ми­да SABC, в ко­то­рой

а)  До­ка­жи­те, что ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру BC.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой SA и плос­ко­стью SBC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD. Точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки B и С, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки BM и CN в точ­ках P и Q (от­лич­ных от кон­цов от­рез­ков).

а)  До­ка­жи­те, что точки M, N, P и Q лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка QN, если BC  =  4,5, AD  =  21,5, AB  =  26, CD  =  25, а угол CPD  — пря­мой.

В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на че­ты­ре года в раз­ме­ре S млн руб­лей, где S  — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет мень­ше 50 млн руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

мень­ше −2.

Вася и Петя ре­ша­ют за­да­чи из сбор­ни­ка. Они на­ча­ли ре­шать за­да­чи в один и тот же день, и ре­ши­ли в этот день хотя бы по одной за­да­че каж­дый. Вася решал в каж­дый сле­ду­ю­щий день на одну за­да­чу боль­ше, чем в преды­ду­щий, а Петя  — на две за­да­чи боль­ше, чем преды­ду­щий день. В итоге каж­дый из них решил все за­да­чи из сбор­ни­ка.

а)  Могло ли быть так, что в пер­вый день они ре­ши­ли оди­на­ко­вое число задач, при этом Петя про­ре­шал весь сбор­ник за пять дней?

б)  Могло ли быть так, что в пер­вый день они ре­ши­ли оди­на­ко­вое число задач, при этом Петя про­ре­шал весь сбор­ник за де­сять дней?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство задач могло быть в сбор­ни­ке, если каж­дый из ребят решал за­да­чи более 6 дней, при­чем в пер­вый день Вася решил боль­ше задач чем Петя, а за 7 дней Петя решил задач боль­ше, чем Вася?