ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 526295 Добавить в вариант

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.

а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Спрятать решение

Решение.

Пусть всего a овощей тяжелее 1000 г, их суммарная масса равна S₁, b овощей весят 1000 г, их суммарная масса равна S₂, c овощей легче 1000 г, а их суммарная масса равна S₃. Следовательно, условие записывается системой:

$система выражений a плюс b плюс c = 73, S_1 плюс S_2 плюс S_3 = 73 000, S_1 = 1030a, S_2 = 1000b, S_3 = 988c. конец системы .$

а)  В этом случае $a = c$ и $b = 73 минус 2a.$ Из системы имеем

$1030a плюс 1000 умножить на левая круглая скобка 73 минус 2a правая круглая скобка плюс 988a = 73 000,$

откуда $a = 0.$ Противоречие с условием, так как овощи тяжелее килограмма, есть, поскольку их средняя масса 1030 г.

б)  В этом случае $b = 11.$ Из системы имеем $11 плюс a плюс c = 73$ и

$1030a плюс 11 000 плюс 988c = 73 000,$

откуда $21a = 372.$ Но тогда a  — нецелое число. Противоречие.

в)  Пусть x  — масса самого легкого овоща. Следовательно, средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит

$дробь: числитель: x плюс 999 умножить на левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: c конец дроби = 999 минус дробь: числитель: 999 минус x, знаменатель: c конец дроби .$

Это выражение должно быть не меньше 988. Решая неравенство $999 минус дробь: числитель: 999 минус x, знаменатель: c конец дроби больше или равно 988,$ получаем $x больше или равно 999 минус 11c.$ Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное c.

Из уравнения $1030a плюс 1000b плюс 988c = 73 000$ следует, что с кратно 5. Кроме того, c меньше 73. Максимальное c, при котором уравнение имеет натуральные решения,  — это $c = 50,$ тогда $a = 20,$ $b = 3.$ Число b может равняться и 0. Необходимо убедиться, что c не может равняться 70, 65, 60 и 55. Подставляя эти значения c в уравнение, получим, что $103a плюс 100b$ может равняться 384, 878, 1372, 1866. Покажем, что эти уравнения не имеют решений в целых неотрицательных числах. Действительно, пусть, например, $103a плюс 100b = 384.$ Это означает, что $3a минус 84 = 100 умножить на левая круглая скобка 3 минус a минус b правая круглая скобка ,$ то есть $3a минус 84$ кратно 100. Аналогично, $3a минус 78,$ $3a минус 72,$ $3a минус 66$ кратны 100. Это означает, что a в этих случаях равно как минимум 22, но тогда b, очевидно, отрицательно.

Следовательно, минимально возможное x получается из уравнения $x = 999 минус 11c,$ откуда $x = 449,$ иначе будет противоречие с необходимым неравенством, полученным выше. Пример следует из решения: один овощ массой 449 г, сорок девять овощей массой 999 г, три овоща массой 1000 г и двадцать овощей массой 1030 г.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  449.

Приведем решение, предложенное Никитой Фединым.

Пусть всего a овощей тяжелее 1000 г, b овощей весят по 1000 г, c овощей легче 1000 г. Следовательно,

$1030a плюс 1000b плюс 988c = 1000 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка ,$

откуда $a = 0,4c.$

а)  Если в ящике равное количество овощей массой меньше 1000 г и массой больше 1000 г, то $a = c.$ C учетом равенства $a = 0,4c,$ это может быть только при $a = c = 0,$ что противоречит условию задачи. Следовательно, ответ  — нет.

б)  Допустим, в ящике ровно 11 овощей массой 1000 г, тогда $a плюс c = 73 минус 11 = 62.$ Подставив $a = 0,4c,$ получим $1,4c = 62.$ Данное уравнение не имеет решений в натуральных числах, поэтому в ящике не может быть ровно 11 овощей весом 1000 г.

Это выражение должно быть не меньше 988. Решая неравенство $999 минус дробь: числитель: 999 минус x, знаменатель: c конец дроби больше или равно 988,$ получаем, что $x больше или равно 999 минус 11c.$ Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное c. По условию задачи $a плюс b плюс c = 73,$ тогда $a плюс c меньше или равно 73,$ следовательно, $1,4c меньше или равно 73,$ откуда $c меньше или равно 52.$ Значение c должно быть кратным 5, чтобы значение $a = 0,4c$ было целым. Таким образом, $c = 50.$

Минимальное возможное x получим из уравнения $x = 999 минус 11c,$ откуда $x = 449.$ Пример следует из решения: один овощ массой 449 г, сорок девять овощей массой 999 г, три овоща массой 1000 г и двадцать овощей массой 1030 г.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  пример в п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); ―  обоснование в п. в того, что равенства S  =  −1 и S  =  1 невозможны	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 526295: 702499 702518 Все

Источники:

Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Санкт-Петербург;

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь