В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Пусть всего a овощей тяжелее 1000 г, их суммарная масса равна S1, b овощей весят 1000 г, их суммарная масса равна S2, c овощей легче 1000 г, а их суммарная масса равна S3. Следовательно, условие записывается системой:
а) В этом случае 
и 
Из системы имеем
откуда 
Противоречие с условием, так как овощи тяжелее килограмма, есть, поскольку их средняя масса 1024 г.
б) В этом случае 
Из системы имеем 
и
откуда 
Но тогда a — нецелое число. Противоречие.
в) Пусть x — масса самого легкого овоща. Следовательно, средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит
Это выражение должно быть не меньше 982. Решая неравенство 
получаем 
Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное c.
Из уравнения 
следует, что с кратно 4. Кроме того, c меньше 65. Максимальное c, при котором уравнение имеет натуральные решения, — это 
тогда 
Число b может равняться и 0. Необходимо убедиться, что c не может 
может 
Это означает, что 
то есть 
кратно 125. Аналогично, 
кратны 100. Это означает, что a в этих случаях равно как минимум 34, но тогда b, очевидно, отрицательно.
Следовательно, минимально возможное x получается из уравнения 
откуда 
иначе будет противоречие с необходимым неравенством, полученным выше. Пример следует из решения: один овощ массой 387 г, тридцать пять овощей массой 999 г, два овоща массой 1000 г и двадцать семь овощей массой 1024 г.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 387.