Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 548183
i

В тре­уголь­ни­ке АВС на сто­ро­не ВС вы­бра­на точка М, при­чем \angle BAM =30 гра­ду­сов. Пря­мая АМ пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка АВС в точке N, от­лич­ной от А. Из­вест­но, что \angle BNC = 105 гра­ду­сов, AB=2, AC=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

а)  До­ка­зать, что BN:NC=1: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AN.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что углы BAN и BCN равны так как они яв­ля­ют­ся впи­сан­ны­ми. Вы­чис­лим:

\angle NAC = \angle NBC = 180 гра­ду­сов минус 105 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов = 45 гра­ду­сов.

По тео­ре­ме си­ну­сов BN = 2R синус 30 гра­ду­сов, где R  — это ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABC, а зна­чит и во­круг тре­уголь­ни­ка ABN. Ана­ло­гич­но NC = 2R синус 45 гра­ду­сов. Зна­чит,

BN:NV = синус 30 гра­ду­сов : синус 45 гра­ду­сов =1: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

б)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

BC в квад­ра­те =AB в квад­ра­те плюс AC в квад­ра­те минус 2AB умно­жить на AC умно­жить на ко­си­нус 75 гра­ду­сов = 16 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Пусть BN  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке BNC по­лу­ча­ем:

x в квад­ра­те плюс 2x в квад­ра­те минус 2 умно­жить на x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на x умно­жить на ко­си­нус 105 гра­ду­сов=16 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 16 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Те­перь по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABN по­лу­ча­ем:

4 плюс AN в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 2 умно­жить на AN умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 16 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но AN = 4.

 

Ответ: б) 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 320. (Часть C)
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026