Точка О1 — центр вписанной окружности равнобедренного треугольника АВС, а точка О2 — центр вневписанной окружности, касающейся основания ВС.
а) Докажите, что расстояние от середины отрезка О1О2 до точки С вдвое меньше О1О2.
б) Известно, что радиус первой окружности в пять раз меньше радиуса второй. В каком отношении точка касания первой окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
а) Пусть M — середина отрезка O1O2. Заметим, что CO1 и CO2 — биссектрисы внутреннего и внешнего угла при вершине C. Значит, 
Тогда по свойству медиан прямоугольного треугольника 
б) Пусть вписанная окружность касается стороны AB в точке K, вневписанная окружность касается AB в точке N, а точка P — середина стороны BC. Тогда
Следовательно,
Таким образом,
Ответ: б) 1 : 2.