Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 7 № 551780

Функция f(x) определена и непрерывна на интервале ( минус 3; 4). На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.

Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть интервалам (−3; 1) и (1; 4). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на интервале (−3; 4). Данный промежуток содержит целые точки −2, −1, 0, 1, 2 и 3. Их сумма равна 3.

 

Ответ: 3.

 

Примечание.

Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке [a; b] и монотонна на интервале (a; b), то функция монотонна на всем отрезке [a; b].

Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции

f(x)= x плюс дробь, числитель — |x|, знаменатель — 2 = система выражений дробь, числитель — x, знаменатель — 2 , x меньше 0, дробь, числитель — 3x, знаменатель — 2 , x больше или равно 0 конец системы .

не существует в точке x=0 и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке x=0 непрерывна, следовательно, она возрастает на  R .

 

Рекомендуем сравнить данную задачу с задачами 551782 и 551783 и обратить внимание на границы промежутка задания функции.


Аналоги к заданию № 551780: 551782 551783 Все

Классификатор базовой части: 3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания, 4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков