Окружность, проходящая через вершину B треугольника ABC, касается стороны AC в точке D, такой, что BD — биссектриса угла B, и пересекает стороны AB и BC в точках E и F соответственно.
а) Докажите, что AE : CF = AB : BC.
б) Найдите отношение площадей треугольников AED и DFC, если известно, что AE : CF = 2 : 3.
а) Воспользуемся свойством биссектрисы: AD : DC = AB : BC. По теореме о квадрате касательной 
Из этих двух равенств получаем, что
Это и требовалось доказать.
б) Из равенства, доказанного в п. а), следует параллельность отрезков EF и AC. Тогда в треугольниках AED и DFC равны высоты, проведенные к сторонам AD и DC соответственно. Значит, отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований AD и DC. По доказанному ранее это отношение равно 2 : 3.
Ответ: 2 : 3.