а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, со­дер­жа­щая диа­го­наль AC₁ и пе­ре­се­ка­ю­щая ребра BB₁ и DD₁ в точ­ках F и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние AFC₁E  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если из­вест­но, что AFC₁E  — ромб и AB  =  3, BC  =  2, AA₁  =  5.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну B тре­уголь­ни­ка ABC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке D, такой, что BD  — бис­сек­три­са угла B, и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках E и F со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что AE : CF  =  AB : BC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AED и DFC, если из­вест­но, что AE : CF  =  2 : 3.

Семен и Мат­вей от­кры­ли вкла­ды оди­на­ко­во­го раз­ме­ра в одном из бан­ков на три года. Еже­год­но в те­че­ние пер­вых двух лет банк уве­ли­чи­вал каж­дый вклад на 10%, а в конце тре­тье­го года  — на 5% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года. Кроме этого, в на­ча­ле вто­ро­го и тре­тье­го годов Семен еже­год­но по­пол­нял вклад на х тысяч руб­лей, где х  — на­ту­раль­ное число. Мат­вей по­пол­нял свой вклад толь­ко в на­ча­ле тре­тье­го года, но на сумму 2х тысяч руб­лей. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние х, при ко­то­ром через три года на счету Се­ме­на стало на чет­ное число тысяч руб­лей боль­ше, чем у Мат­вея.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно три ре­ше­ния.

На три­бу­не ста­ди­о­на ровно 2020 бо­лель­щи­ков. Каж­дый из этих бо­лель­щи­ков плес­нул водой ровно в од­но­го дру­го­го бо­лель­щи­ка.

а)   Можно ли га­ран­ти­ро­ван­но найти на этой три­бу­не ровно 672 бо­лель­щи­ка таких, что никто из них не об­ли­вал дру­го­го из этих 672 бо­лель­щи­ков водой?

б)  Можно ли га­ран­ти­ро­ван­но найти на этой три­бу­не ровно 676 бо­лель­щи­ков таких, что никто из них не об­ли­вал дру­го­го из этих 676 бо­лель­щи­ков водой?

в)   Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство бо­лель­щи­ков можно га­ран­ти­ро­ван­но найти на этой три­бу­не таких, что никто из них не об­ли­вал дру­го­го из этой груп­пы бо­лель­щи­ков водой?