Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 620970
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка x умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка x конец дроби мень­ше 40.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Не­ра­вен­ство опре­де­ле­но при x боль­ше 0, x не равно 1, 2x не равно 1, дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби x в квад­ра­те не равно 1, то есть при по­ло­жи­тель­ных х, от­лич­ных от 1, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и от ко­рень из 2 . На об­ла­сти опре­де­ле­ния можно ис­поль­зо­вать фор­му­лу дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a b = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию b a, что поз­во­ля­ет из­ба­вить­ся от зна­ме­на­те­лей и за­пи­сать не­ра­вен­ство в виде

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию х левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию х левая круг­лая скоб­ка 2x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 40.

Далее при­ме­ним фор­му­лу ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a левая круг­лая скоб­ка bc пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a и плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a c: если в этой фор­му­ле один из мно­жи­те­лей b или с  — по­ло­жи­тель­ное число, при­ме­не­ние фор­му­лы до­пу­сти­мо на ОДЗ (если b и с за­ви­сят от пе­ре­мен­ной, при­ме­не­ние фор­му­лы может при­ве­сти к по­те­ре кор­ней). По­лу­ча­ем:

левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 2 плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 2 минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 40 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка \log в квад­ра­те _x2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \log в квад­ра­те _x2 минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 40.

Пусть \log в квад­ра­те _x2=t, тогда

левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 40 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 5t минус 36 мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 4 мень­ше t мень­ше 9.

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

минус 4 мень­ше \log в квад­ра­те _x2 мень­ше 9 рав­но­силь­но \log в квад­ра­те _x2 минус 9 мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 3 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 2 мень­ше 3 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но минус 3 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби мень­ше 3 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из 2 конец дроби ,x боль­ше ко­рень 3 сте­пе­ни из 2 . конец со­во­куп­но­сти .

Оста­лось опре­де­лить, какие из най­ден­ных ре­ше­ний лежат в ОДЗ. За­ме­тим, что дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та и ко­рень 3 сте­пе­ни из 2 мень­ше ко­рень из 2 , тогда

си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из 2 конец дроби ,x боль­ше ко­рень 3 сте­пе­ни из 2 , конец си­сте­мы . x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x не равно ко­рень из 2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из 2 конец дроби , ко­рень 3 сте­пе­ни из 2 мень­ше x мень­ше ко­рень из 2 ,x боль­ше ко­рень из 2 . конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень 3 сте­пе­ни из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка ко­рень 3 сте­пе­ни из 2 ; ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 2 ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 363
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
Методы алгебры: За­ме­на пе­ре­мен­ной
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025