Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
не имеет решений.
Решение.
Спрятать критерии
Запишем уравнение в виде
Полученное уравнение имеет вид 
где 
Функция f возрастающая как сумма двух возрастающих функций, поэтому каждое своё значение она принимает один раз. Тогда равенство значений функции означает равенство аргументов, а значит, исходное уравнение равносильно уравнению 
то есть уравнению
Полученное квадратное уравнение не имеет решений, если его дискриминант меньше нуля, откуда находим:
Ответ: 
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Функции, зависящие от параметра
Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности
Предлагаю другой вариант решения.
1. Пусть t=4x^2 и y=3x+a. Тогда уравнение приобретает вид t-y=y^3-t^3.
2. Представим разность кубов в виде произведения, перенесем все в левую часть и разложим на множители. Получим
(t-y)(t^2+y^2+yt+1)=0
3. Исключим равенство 0 выражения t=y. Получим a<-9/16
4. Докажем, что t^2+y^2+yt+1>0 при любых t и y.
Если yt>=0, это очевидно.
Если yt<0, представим выражение в виде
(t+y)^2-yt+1. Так как -yt>0, то и в этом случае t^2+y^2+yt+1>0.
Задача решена