Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 633186
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых для функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те минус 4 a x плюс a в квад­ра­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =0 имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть t=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . Для того, чтобы урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =0 имело ровно че­ты­ре ре­ше­ния не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы мень­ший из двух раз­лич­ных кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =0 был боль­ше наи­мень­ше­го зна­че­ния квад­ра­тич­ной функ­ции t=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда каж­до­му из двух раз­лич­ных зна­че­ний t, будет со­от­вет­ство­вать два раз­лич­ных зна­че­ния x.

Решим урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =0:

t в квад­ра­те минус 4 a t плюс a в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 4at плюс 4a в квад­ра­те минус 3a в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =3a в квад­ра­те рав­но­силь­но t минус 2a= \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но t=2a \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

При a=0 корни сов­па­да­ют, что не под­хо­дит. При про­чих a мень­ший ко­рень урав­не­ния равен 2a минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние, за­да­ю­щее функ­цию t=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка :

t=x в квад­ра­те минус 4 a x плюс a в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка x минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3a в квад­ра­те боль­ше или равно минус 3a в квад­ра­те .

Зна­че­ние t= минус 3a в квад­ра­те до­сти­га­ет­ся при x=2a, а по­то­му яв­ля­ет­ся наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции t=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь при a не равно 0 решим не­ра­вен­ство:

2a минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та боль­ше минус 3a в квад­ра­те рав­но­силь­но 2a плюс 3a в квад­ра­те боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2a плюс 3a в квад­ра­те боль­ше или равно 0, левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 3a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 3a в квад­ра­те ,3a в квад­ра­те боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3a пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 3,a не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3a пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3a минус ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3a плюс ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0,a не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,a боль­ше 0, конец си­сте­мы . со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,a боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,a боль­ше 0. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной.2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 400
Классификатор алгебры: Рас­по­ло­же­ние кор­ней квад­рат­но­го трех­чле­на, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026