В правильной треугольной пирамиде МАВС двугранный угол при основании paвeн 
Через точку К ребра МС и вершины А и В проходит плоскость α так, что площадь сечения пирамиды плоскостью α относится к площади основания как 
а) Докажите, что прямая МС перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите объем пирамиды МАВК, если объем пирамиды МАВС равен 
а) Пусть точка O — центр основания пирамиды, а точка L — середина ребра AB. Заметим, что прямая CL проходит через точку O. Пусть OL = x, тогда CL = MO = 3x, CO = 2x и
Тогда
откуда
следовательно, 
Таким образом, отрезок KL равен высоте треугольника MLC, проведенной из вершины K, и, значит, совпадает с ней. Следовательно, прямые KL и MC взаимно перпендикулярны. Кроме того, плоскость MLC перпендикулярна прямой AB, а потому прямые AB и MC взаимно перпендикулярны. Значит, прямая МС перпендикулярна плоскости KAB.
б) Из п. а) следует, что MK — высота пирамиды MABK, а CK — высота пирамиды CABK. Эти пирамиды имеют общее основание ABK, поэтому их объемы относятся как высоты MK и CK, проведенные к данным основаниям. Находим:
откуда
Ответ: б) 