Внутри окружности с центром О построен правильный шестиугольник KOFPDL так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки В, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды AB и ВС, проходящие через вершины К и F шестиугольника соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности равен 14.
а) Пусть
тогда 
и 
По теореме косинусов
Аналогично 
и 
Пусть MN — диаметр окружности, проходящей через точку K, тогда 
и 
Из свойства хорд 
находим:
Значит,
б) Пусть H — точка пересечения отрезков KF и BD. По доказанному в пункте а) треугольники ABC и BKF подобны с коэффициентом подобия 
тогда
По условию 
то есть 
следовательно, 
Ответ: б) 
Приведем другое решение пункта б).
б) Найдем угол KBO по теореме синусов:
откуда
По условию то есть следовательно,
Таким образом, для площади треугольника ABC получаем:
Решение пункта б)
Найдём площадь треугольника KBF , используя обозначения пункта а) и BH - его высота.
S(KBF) = 1/2KF*BH = 1/2*а√3*(2а+а/2) =(5√3/4) а^2.
Треугольники KBF и ABC подобны с коэффициентом 7/10 из пункта а) , значит
S(ABC) = (10/7) ^2 *S(KBF). Подставляя а=7, получаем
S(ABC) = (100*5√3*49)/(49*4) = 125√3.
Спасибо, добавили.