Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 634463
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те минус 15 пра­вая круг­лая скоб­ка минус де­ся­тич­ный ло­га­рифм x мень­ше де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 10 x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Левая часть не­ра­вен­ства опре­де­ле­на, если од­но­вре­мен­но верны не­ра­вен­ства 5x в квад­ра­те минус 15 боль­ше 0 и x боль­ше 0, то есть при x боль­ше ко­рень из 3 . Пе­ре­не­сем де­ся­тич­ный ло­га­рифм x в пра­вую часть, вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой суммы ло­га­риф­мов и воз­рас­та­ни­ем ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции с ос­но­ва­ни­ем, боль­шим 1. По­лу­ча­ем:

де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те минус 15 пра­вая круг­лая скоб­ка минус де­ся­тич­ный ло­га­рифм x мень­ше де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 10 x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те минус 15 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 10 x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс де­ся­тич­ный ло­га­рифм x рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 5x в квад­ра­те минус 15 боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 10 x боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те минус 15 мень­ше левая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 10 x пра­вая круг­лая скоб­ка x. левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы .

За­ме­тим, что не­ра­вен­ство  (3) яв­ля­ет­ся след­стви­ем осталь­ных не­ра­венств, а по­то­му его можно опу­стить. Дей­стви­тель­но, не­ра­вен­ство  (1) озна­ча­ет, что левая часть не­ра­вен­ства  (4) по­ло­жи­тель­на. Пра­вая часть не­ра­вен­ства  (4) на мно­же­стве его ре­ше­ний боль­ше левой, а зна­чит, она также по­ло­жи­тель­на: левая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 10 x пра­вая круг­лая скоб­ка x боль­ше 0. Но x боль­ше 0 в силу не­ра­вен­ства  (2). Это и озна­ча­ет, что 5 x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 10 x боль­ше 0, то есть не­ра­вен­ство  (3) ав­то­ма­ти­че­ски вы­пол­не­но на мно­же­стве ре­ше­ний си­сте­мы не­ра­венств  (1), (2) и (4). В  силу ска­зан­но­го по­лу­ча­ем:

де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те минус 15 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 10 x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс де­ся­тич­ный ло­га­рифм x рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 5x в квад­ра­те минус 15 боль­ше 0, x боль­ше 0, 5 x в квад­ра­те минус 15 мень­ше левая круг­лая скоб­ка 5 x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 10 x пра­вая круг­лая скоб­ка x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше ко­рень из 3 , 5 x в квад­ра­те минус 15 мень­ше 5 x в кубе плюс 5 минус 10 x в квад­ра­те конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше ко­рень из 3 , x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс 4 боль­ше 0. конец си­сте­мы .

Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли вы­ра­же­ние x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс 4:

x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс 4 = левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

При x боль­ше ко­рень из 3 сумма x плюс 1 по­ло­жи­тель­на, а по­то­му

си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше ко­рень из 3 , левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше ко­рень из 3 , левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше ко­рень из 3 , x не равно 2. конец си­сте­мы .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 3 ; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 406
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025