Банк выдает кредиты под 10% годовых при условии погашения кредита ежегодными равными платежами. На какой срок (целое число лет) следует взять кредит, чтобы ежегодный платеж не превосходил 20% от суммы кредита, а полная сумма выплат превосходила сумму кредита не более чем на 50%?
Будем считать, что выплаты по кредиту зачисляются на счёт в банке с той же процентной ставкой, а весь кредит погашается в конце срока. Примем размер кредита за 1, а выплату за p тогда через n полных лет (n — натуральное число) потребуется выплатить сумму 1,1n, а суммарная выплата составит
Из уравнения 
получаем, что
С одной стороны, 
тогда имеем неравенство 
откуда 
Поскольку 1,17 = 1,948 717 1 а 1,18 = 2,143 588 81, в силу возрастания левой части неравенства заключаем, что 
С другой, общая выплата составит np, и она не должна превышать 1,5. Имеем:
Исследуем последовательность с общим членом 
на монотонность. Найдем 
и рассмотрим отношение
Полученное отношение больше 1, если 
то есть при 
последователньость возрастает. При 
отношение равно 1, а значит, 
При 
следующие члены прогрессии меньше предыдущих — последовательность убывает.
Вернемся к неравенству 
Можно проверить, что оно не выполнено при n = 9:
6 · 1,19 = 6 · 2,357 947 691 = 14,147 686 1 < 15.
В силу характера монотонности последовательности из этого следует, что неравенство ложно при всех 
Для n = 8 неравенство верно:
7 · 1,18 = 7 · 2,143 588 81 = 15,005 121 67,
а значит, заведомо истинно для всех чисел n таких, что 
и, возможно, для меньших значений n (в действительности, для всех натуральных чисел, не превосходящих 8).
Тем самым получено, что 
и одновременно 
Из этого следует, что 
Ответ: 8.