В прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат KCMN так, что вершины K и M расположены на катетах AC и BC соответственно, a на гипотенузе AB — вершина N. Вершины квадрата TPQR расположены на сторонах треугольника ABC, причём вершины P и Q находятся на катетах AC и BC соответственно, а вершины R и T — на гипотенузе AB.
а) Докажите, что точка C и центры квадратов KCMN и TPQR лежат на одной прямой.
6) Найдите длину стороны квадрата TPQR, если AC = 5 и BC = 12.
а) Центр квадрата KCMN — это середина отрезка CN. Докажем, что центр квадрата TPQR лежит на той же прямой CN. Пусть этот центр — точка O. Заметим, что
и 
тогда четырёхугольник POQC вписан в окружность. По тереме синусов 
следовательно, точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то есть на прямой CN.
б) Пусть 
Треугольники APT, QBR и ABC подобны, значит,
откуда 
и 
Найдем гипотенузу AB:
Тогда для длины сторона квадрата можно составить уравнение:
Ответ: б) 
Приведем замечание Ирины Шраго.
Равенство углов PCO и OCQ в пункте а) можно доказать без использования теоремы синусов. Эти углы являются вписанными, опираются на равные хорды и оба являются острыми, следовательно, они равны.